《數與代數》(一)數的認識
整數【正數、0、負數】
1、一個物體也沒有,用0表示。0和1、2、3……都是自然數。自然數是整數。
2、最小的一位數是1,最小的自然數是0。
3、零上4攝氏度記作 4℃;零下4攝氏度記作-4℃。“ 4”讀作正四。“-4”讀作負四。 4也可以寫成4。
4、像 4、19、 8844這樣的數都是正數。像-4、-11、-7、-155這樣的數都是負數。
5、0既不是正數,也不是負數。正數都大于0,負數都小于0。
6、通常情況下,比海平面高用正數表示,比海平面低用負數表示。
7、通常情況下,盈利用正數表示,虧損用負數表示。
8、通常情況下,上車人數用正數表示,下車人數用負數表示。
9、通常情況下,收入用正數表示,支出用負數表示。
10、通常情況下,上升用正數表示,下降用負數表示。
小數【有限小數、無限小數】
1、分母是10、100、1000……的分數都可以用小數表示。一位小數表示十分之幾,兩位小數表示百分之幾,三位小數表示千分之幾……
2、整數和小數都是按照十進制計數法寫出的數,個、十、百……以及十分之一、百分之一……都是計數單位。每相鄰兩個計數單位間的進率都是10。
3、每個計數單位所占的位置,叫做數位。數位是按照一定的順序排列的。
4、小數的性質:小數的末尾添上“0”或去掉“0”,小數的大小不變。
5、根據小數的性質,通常可以去掉小數末尾的“0”,把小數化簡。
6、比較小數大小的一般方法:先比較整數部分的數,再依次比較小數部分十分位上的數,百分位上的數,千分位上的數,從左往右,如果哪個數位上的數大,這個小數就大。
7、把一個數改寫成用“萬”或“億”作單位的數,隻要在萬位或億位右邊點上小數點,再在數的後面添寫“萬”字或“億”字。
8、求小數近似數的一般方法:
(1)先要弄清保留幾位小數;
(2)根據需要确定看哪一位上的數;
(3)用“四舍五入”的方法求得結果。
分數【真分數、假分數】
1、把單位“1”平均分成若幹份,表示這樣的一份或幾份的數叫做分數。表示其中一份的數,是這個分數的分數單位。
2、兩個數相除,它們的商可以用分數表示。即:
3、從小數和分數的意義可以看出,小數實際上就是分母是10、100、1000……的分數。
4、分數可以分為真分數和假分數。
5、分子小于分母的分數叫做真分數。真分數小于1。
6、分子大于或等于分母的分數叫做假分數。假分數大于或等于1。
7、分子和分母隻有公因數1的分數叫做最簡分數。
8、分數的基本性質:分數的分子和分母同時乘或除以相同的數(零除外),分數的大小不變。
9、小數的性質和分數的基本性質是一緻的,應用分數的基本性質,可以通分和約分。
百分數【稅率、利息、折扣、成數】
1、表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數。百分數也叫百分率或
百分比,百分數通常用“%”表示。
2、分數與百分數比較:
3、分數、小數、百分數的互化。
(1)把分數化成小數,用分數的分子除以分母。
(2)把小數化成分數,先改寫成分母是10、100、1000……的分數,再約分。
(3)把小數化成百分數,先把小數點向右移動兩位,然後添上百分号。
(4)把百分數化成小數,先去掉百分号,然後把小數點向左移動兩位。
(5)把分數化成百分數,先把分數化成小數(除不盡時通常保留三位小數),再把小數化成百分數。
(6)把百分數化成分數,先把百分數改寫成分數,能約分的要約成最簡分數。
5、出勤率表示出勤人數占總人數的百分之幾。
合格率表示合格件數占總件數的百分之幾。
成活率表示成活棵數占總棵數的百分之幾。
6、求一個數比另一個數多百分之幾,就是求一個數比另一個數多的占另一個數的百分之幾。
7、多的÷“1”=多百分之幾 少的÷“1”=少百分之幾
8、應得利息是稅前利息,實得利息是稅後利息。
9、利息=本金×利率×時間
10、應得利息-利息稅=實得利息
11、幾折表示十分之幾,表示百分之幾十;幾幾折表示十分之幾點幾,表示百分之幾十幾。
12、原價×折扣=現價 現價÷原價=折扣 現價÷折扣=原價
13、幾成表示十分之幾表示百分之幾十;幾成幾表示十分之幾點幾,表示百分之幾十幾。
因數與倍數【素數、合數、奇數、偶數】
1、4×3=12,12是4的倍數,12也是3的倍數,4和3都是12的因數。
2、一個數最小的倍數是它本身,沒有最大的倍數。一個數倍數的個數是無限的。
3、一個數最小的因數是1,最大的因數是它本身。一個數因數的個數是有限的。
4、5的倍數:個位上的數是5或0。
2的倍數:個位上的數是2、4、6、8或0。2的倍數都是雙數。
3的倍數:各位上數的和一定是3的倍數。
5、是2的倍數的數叫做偶數。不是2的倍數的數叫做奇數。
6、一個數,如果隻有1和它本身兩個因數,這樣的數就叫做素數(或質數)。
7、一個數,如果除了1和它本身還有别的因數,這樣的數就叫做合數。
8、在1—20這些數中: (1既不是素數,也不是合數)
奇數:1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。
偶數:2、4、6、8、10、12、14、16、18、20。
素數:2、3、5、7、11、13、17、19。(共8個,和為77。)
合數:4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。(共11個,和為132。)
9、最小的奇數是1,最小的偶數是0,最小的素數是2,最小的合數是4。
10、如果兩個數是倍數關系,則大數是最小公倍數,小數是最大公因數。
11、如果兩個數隻有公因數1,則最大公因數是1,最小公倍數是它們的乘積。
計算法則【整數、小數、分數】
1、計算整數加、減法要把相同數位對齊,從低位算起。
2、計算小數加、減法要把小數點對齊,從低位算起。
3、小數乘法:
(1)先按整數乘法算出積是多少,看因數中一共有幾位小數,就從積的右邊起數出幾位,點上小數點。
(2)注意:在積裡點小數點時,位數不夠的,要在前面用0補足。
4、小數除法:
(1)商的小數點要和被除數的小數點對齊;
(2)有餘數時,要在後面添0,繼續往下除;
(3)個位不夠商1時,要在商的整數部分寫0,點上小數點,再繼續除。
(4)把除數轉化成整數時,除數的小數點向右移動幾位,被除數的小數點也要向右移動幾位。
(5)當被除數的小數位數少于除數的小數位數時,要在被除數的末尾用0補足。
5、一個小數乘10、100、1000……隻要把這個小數的小數點向右移動一位、兩位、三位……
6、一個小數除以10、100、1000……隻要把這個小數的小數點向左移動一位、兩位、三位……
7、分數加、減法:
(1)同分母分數相加減,把分子相加減,分母不變。
(2)異分母分數相加減,要先通分化成同分母分數,然後再相加減。
8、分數大小的比較:
(1)同分母分數相比較,分子大的大,分子小的小。
(2)異分母的分數相比較,先通分然後再比較;若分子相同,分母大的反而小。
9、分數乘分數,用分子相乘的積作分子,分母相乘的積作分母。
10、甲數除以乙數(0除外),等于甲數乘乙數的倒數。
四則運算關系
加法
一個加數=和-另一個加數
減法
被減數=差 減數 減數=被減數-差
乘法
一個因數=積÷另一個因數
除法
被除數=商×除數 除數=被除數÷商
兩個規律
1、除法的商不變規律:被除數和除數同時乘或除以相同的數(0除外),商不變。
2、乘法的積不變規律:如果一個因數乘幾,另一個因數則除以幾,那麼它們的積不變。
簡便計算
1、運算定律:
運算定律(用字母表示)
加法交換律
a+b=b+a
加法結合律
(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交換律
a×b=b×a
乘法結合律
(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律
(a+b)×c=a×c+b×c
減法運算規律
a-b-c=a-(b+c)
除法運算規律
a÷b÷c=a÷(b×c)
式與方程
用字母表示數
1、在一個含有字母的式子裡,數字和字母、字母和字母相乘時,中間的乘号可以記作“·”,也可以省略不寫。在省略數字與字母之間的乘号時,要把數字寫在字母的前面。
2、2a與a2意義不同:2a表示兩個a相加,a2表示兩個a相乘。即:2a=a+a,a2= a×a。
3、用字母表示數:
(1)用字母表示任意數:如X=4 a=6
(2)用字母表示常見的數量關系:如s=vt
(3)用字母表示運算定律:如a+b=b+a
(4)用字母表示計算公式:S=ah
方程與等式
1、含有未知數的等式叫做方程。
2、使方程左右兩邊相等的未知數的值,叫做方程的解。
3、求方程的解的過程,叫做解方程。
5、等式的基本性質(一)
等式兩邊同時加上(或減去)一個相同的數,所得結果仍然是等式。
6、等式的基本性質(二)
等式兩邊同時乘(或除以)一個不等于零的數,所得結果仍然是等式。
7、列方程解應用題的一般步驟:
(1)弄清題意,找出未知數并用X表示。
(2)找出應用題中數量間的相等關系,并列出方程。
(3)求出方程的解。
(4)檢驗或驗算,寫出答案。
正比例與反比例
比和比例
4、化簡比:
(1)整數比的化簡方法是:用比的前項和後項同時除以它們的最大公約數。
(2)小數比的化簡方法是:先把小數比化成整數比,再按整數比化簡方法化簡。
(3)分數比的化簡方法是:用比的前項和後項同時乘以分母的最小公倍數。
5、比例尺:我們把圖上距離和實際距離的比叫做這幅圖的比例尺。
6、比例尺=圖上距離︰實際距離
正比例、反比例
1、正比例:兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也随着變化,如果這兩種量中相對應的兩個數的比值(也就是商)一定,這兩種量就叫做成正比例的量,它們的關系就叫做正比例關系。
2、反比例:兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也随着變化,如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定,這兩種量就叫做成反比例的量,它們的關系就叫做反比例關系。
平面圖形【認識、周長、面積】
1、用直尺把兩點連接起來,就得到一條線段;把線段的一端無限延長,可以得到一條射線;把線段的兩端無限延長,可以得到一條直線。線段、射線都是直線上的一部分。線段有兩個端點,長度是有限的;射線隻有一個端點,直線沒有端點,射線和直線都是無限長的。
2、從一點引出兩條射線,就組成了一個角。角的大小與兩邊叉開的大小有關,與邊的長短無關。角的大小的計量單位是(°)。
3、角的分類:小于90度的角是銳角;等于90度的角是直角;大于90度小于180度的角是鈍角;等于180度的角是平角;等于360度的角是周角。
4、相交成直角的兩條直線互相垂直;在同一平面不相交的兩條直線互相平行。
5、三角形是由三條線段圍成的圖形。圍成三角形的每條線段叫做三角形的邊,每兩條線段的交點叫做三角形的頂點。
6、三角形按角分,可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。按邊分,可以分為等邊三角形、等腰三角形和任意三角形。
7、三角形的内角和等于180度。
8、在一個三角形中,任意兩邊之和大于第三邊。
9、在一個三角形中,最多隻有一個直角或最多隻有一個鈍角。
10、四邊形是由四條邊圍成的圖形。常見的特殊四邊形有:平行四邊形、長方形、正方形、梯形。
11、圓是一種曲線圖形。圓上的任意一點到圓心的距離都相等,這個距離就是圓的半徑的長。通過圓心并且兩端都在圓的線段叫做圓的直徑。
12、有一些圖形,把它沿着一條直線對折,直線兩側的圖形能夠完全重合,這樣的圖形就是軸對稱圖形。這條直線叫做對稱軸。
13、圍成一個圖形的所有邊長的總和就是這個圖形的周長。
14、物體的表面或圍成的平面圖形的大小,叫做它們的面積。
15、平面圖形的面積計算公式推導:
【1】平行四邊形面積公式的推導過程?
(1)把平行四邊形通過剪切、平移可以轉化成一個長方形。
(2)長方形的長等于平行四邊形的底,長方形的寬等于平行四邊形的高,長方形的面積等于平行四邊形的面積。
(3)因為:長方形面積=長×寬,所以:平行四邊形面積=底×高。即:S=ah。
【2】三角形面積公式的推導過程?
(1)用兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形。
(2)平行四邊形的底等于三角形的底,平行四邊形的高等于三角形的高,三角形面積等于和它等底等高的平行四邊形面積的一半
(3)因為:平行四邊形面積=底×高,所以:三角形面積=底×高÷2。即:S=ah÷2。
【3】梯形面積公式的
(1)用兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形。
行四邊形。
(2)平行四邊形的底等于梯形的上底和下底的和,平行四邊形的高等于梯形的高,梯形面積等于平行四邊形面積的一半。
(3)因為:平行四邊形面積=底×高,所以:梯形面積=(上底+下底)×高÷2。即:S=(a b)h÷2。
【4】畫圖說明
(1)把圓分成若幹等份,剪開後,拼成了一個近似的長方形。
了一個近似的長方形。
(2)長方形的長相當于圓周長的一半,寬相當于圓的半徑。
(3)因為:長方形面積=長×寬,所以:圓面積=πr×r=πr2。即:S=πr2。
立體圖形【認識、表面積、體積】
1、長方體、正方體都有6個面,12條棱,8個頂點。正方體是特殊的長方體。
2、圓柱的特征:一個側面、兩個底面、無數條高。
3、圓錐的特征:一個側面、一個底面、一個頂點、一條高。
4、表面積:立體圖形所有面的面積的和,叫做這個立體圖形的表面積。
5、體積:物體所占空間的大小叫做物體的體積。容器所能容納其它物體的體積叫做容器的容積。
6、圓柱和圓錐三種關系:
(1)等底等高:體積1︰3
(2)等底等體積:高1︰3
(3)等高等體積:底面積1︰3
7、等底等高的圓柱和圓錐:
(1)圓錐體積是圓柱的,
(2)圓柱體積是圓錐的3倍,
(3)圓錐體積比圓柱少,
(4)圓柱體積比圓錐多2倍。
8、等底等高的圓柱和圓錐:錐1、差2、柱3、和4。
9、立體圖形的棱長總和、表面積、體積計算公式:
長方體棱長總和=(長+寬+高)×4
長方體表面積=(長×寬+長×高+寬×高)×2
長方體體積=長×寬×高
正方體棱長總和=棱長×12
正方體表面積=棱長×棱長×6
正方體體積=棱長×棱長×棱長
圓柱側面積=底面周長×高
圓柱表面積=側面積+底面積×2
圓柱體積=底面積×高
圓錐體積:V= Sh
(二)圖形與變換
1、變換圖形位置的方法有平移、旋轉等,在變換位置時,每個圖形的相應頂點、線段、曲線應同步平移,旋轉相同的角度。
2、不改變圖形的形狀,隻改變它的大小時,通常要使每個圖形的要素,如長方形的長與寬,三角形的底與高等同時按相同比例放大或縮小。
3、對稱圖形是對稱軸兩邊的圖形經對折後能夠完全重合,而不是完全相同。
(三)圖形與位置
1、當我們處在實際生活及情景中,面對教短距離時,通常用上、下、前、後來描述具體位置。
2、當我們面對地圖、方位圖時,通常用東、西、南、北,南偏東、北偏東……來描述方向。再結合所示比例尺計算出具體距離,把方向與距離結合起來确定位置。
《空間與圖形》--(一)統計
1、我們通常都是通過打勾、畫圓、劃“正”字的方法進行數據的收集和整理。
2、常見的統計圖有條形統計圖、折線統計圖和扇形統計圖三種。
3、條形統計圖的特點:從圖中能清楚地看出各種數量的多少,便于比較。
4、折線統計圖的特點:不但能看出各種數量的多少,而且還能夠清楚地表示出數量增減變化的情況。
5、扇形統計圖的特點:表示各部分和總數之間,以及部分與部分之間的關系。
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