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NO. 111

正方體幻方

把數字1到8放到正方體的八個頂點上，要求每個面的四個頂點的數字和都相同，請問有多少種不同的放法？（旋轉、翻轉正方體後相同的視為同一種）

問題分析解答

本題答案為6種，下面分步講解。

一、計算正方體幻方每個面的數字和。數字1到8的和為36，因此正方體的上下兩個面的數字和也是36，由于每個面數字和相同，因此上下兩面數字和均為18，即正方體幻方每個面的數字和都是18。

二、分析正方體幻方各數字位置關系。不妨從最小的數字1和最大的數字8入手，通過簡單的試錯不難發現，1必須和8在一條棱上（1和8無論在面對角線還是體對角線上都無法構成正方體幻方）。

三、考慮哪些數可以和1、8共面。由于1 8=9，且每個面的數字和都是18，因此和1、8共面的兩個數字的和也一定是9，因此有以下三種可能：

①.1827共面

②.1836共面

③.1845共面

四、考慮上面三種情況數字的位置關系。這一步還是需要試錯，然後我們可以發現：若1827共面，1與2相對（即不相鄰，下同）；若1836共面，1與3相對；1845共面，1與5相對。

五、再分兩步考慮正方體幻方所有可能的數字排列。

1、對于1、8所在棱來講，由于它一定是兩個面的公共棱，所以1、8一定與兩組數字共面，上面提到可以與1、8共面的數有三組，從中任取兩組共計C（3,2）=3種取法。

2、同時還應考慮每種取法可能産生的排列數，以1827和1836共面這種取法為例，顯然數字1-8-2-7既可以順時針排列，也可以逆時針排列，而且這兩種排列之間是無法通過旋轉（翻轉）相互轉化的，盡管它們關于鏡面對稱，但題目中并未說明對稱為同一種情況，因此每一種取法都對應兩種排列。

3、以1827和1836共面這種取法，且數字1-8-2-7順時針排列為例，通過試錯可以發現在這種情況下，不考慮旋轉（翻轉）帶來的變化，其他數字的相對位置關系都确定了（具體位置關系見下圖1），不會再産生新的情況，其他排列情況也是如此。

綜上所述，正方體幻方的可能情況數=取法數3*每種取法對應的排列數2=6種（這六種情況參見下圖2）。

這裡需要說明幾點：

1、這6種情況通過旋轉（翻轉）可以得到所有的正方體幻方。

2、這6種情況彼此間不能通過旋轉（翻轉）轉化。

3、這6種情況實際上是3組鏡面對稱的正方體幻方，但本題并未要求排除鏡面對稱的情況，因此答案為6種。

題友解答精選

◎題友 @邱延成的思路：

每個頂點對應3個面，所以6個面的數字之和為(1 2 3 4 5 6 7 8)x3=108，每個面的數字之和為108/6=18，不妨先填1，因為7個頂點都可以通過旋轉和翻轉到達1的位置，所以1有1種填法，有1的4個數字之和得18的4個數字組合隻有1、2、7、8，1、3、6、8，1、4、5、8和1、4、6、7這四組，有8的4個數字之和得18的4個數字組合也隻有四組，所以8與1共棱，與1共棱的3個頂點中任意一個頂點填上8，其它兩個都可以通過旋轉翻轉到達，所以8有1種填法，1、8固定後，1的另兩個共棱頂點從4、6、7中選兩個排列後填入有A(3，2)=6種，1和1的共棱3個頂點都填入數字後其它位置隻有一種填法，所以一共有6種填法。

◎題友 @對方正在輸入……的思路：

鏡面對稱算兩種的話一共6種情況。首先排除1,8相距√2和√3的情況，1,8隻可能共棱，以1,8所在棱為z軸，則xy平面隻能是1467，4條和1,8平行的棱必定都是相加為9，即1,8棱，2,7棱，3,6棱和4,5棱，這4條棱組出6種結果。

本期答案整理：老王 編輯：子曰

感謝各位題友的積極參與，下期再見！

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