線與法向量垂直的條件-tft每日頭條

線與法向量垂直的條件

生活更新时间:2024-07-01 14:07:12

線與法向量垂直的條件（向量法判斷點與線段的關系）1

如上圖所示，有一點P和線段AB，已知點P的坐标和線段兩個端點（A點和B點）的坐标。

向量法判斷點與線段的關系(一)

利用向量點乘的幾何意義，可以比較簡單求解以下幾個問題：

求線段AP在線段AB上的投影長度；
求點P在線段AB上的投影點的坐标；
判斷點P的投影點是否在線段AB内；
求∠PAB的角度值；
判斷∠PAB是銳角、直角，還是鈍角。

與向量點乘類似的，可以用向量的叉乘來求解以下問題：

求向量AP和AB組成的平行四邊形的面積；
若有另外一點Q，判斷向量PQ與AB是否平行；
判斷點P在向量AB的左側還是右側。

線與法向量垂直的條件（向量法判斷點與線段的關系）2

向量的叉乘，又叫向量積、叉積。

向量a和向量b的叉積是一個向量，而不是一個标量。

向量a和向量b的叉積是一個法向量：

該向量垂直于向量a和b構成的平面，遵循右手定則。即将右手食指指向a的方向，中指指向b的方向，則此時拇指的方向即為法向量的方向。這一定則意味着叉積滿足反交換律：a x b = - b x a。
該向量的模長是向量a和b組成的平行四邊形的面積。

線與法向量垂直的條件（向量法判斷點與線段的關系）3

根據向量叉乘的幾何意義，則可以知道：

1、向量叉乘的結果的模長，即為這兩個向量組成的平行四邊形的面積；

2、如果叉乘的結果為0，則兩個向量方向相同或相反，或它們任意一個的長度為0（而點乘的結果為0，則兩個向量互相垂直）；

3、判斷點P在向量AB的左側還是右側，則可根據向量 ABxAP 的叉乘結果 r 來判斷，根據右手定則：

若 r > 0，則點P在向量AB的左側；
若 r = 0，則點P在向量AB上；
若 r < 0，則點P在向量AB的右側。

線與法向量垂直的條件（向量法判斷點與線段的關系）4

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