一、三角形内外角平分線夾角模型

模型呈現：

如圖，已知，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，CH平分∠ACI，BG平分∠EBC，CG平分∠BCF．試探究∠BDC，∠BHC，∠BGC與∠A的關系．

分析：

這是本章的最後一個重要模型，要結合整體思想，外角定理綜合運用．

解答：

補充結論：

其實這個模型中，還能有許多發現，比如，

∠GBD＝90°，∠DCH＝90°，

理由是鄰補角的角平分線互相垂直．

∠BGC和∠BHC互餘，∠BGC和∠BDC互補，

在△DCH中，∠BDC作為外角，∠BDC＝90°＋∠BHC．

例1：

如圖，O是三角形三條角平分線的交點，∠1＝15°，則∠2＝_____°．

分析：

本題的關鍵是，發現∠2的作用，∠2可以作為△AOB的外角，即∠OAB和∠OBA的和，又是∠AOB的鄰補角，∠AOB是三角形兩内角平分線的夾角，因此本題既可以用一步一步完成，也可用結論模型口算．

解答：

例2：

如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延長線上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，則∠F＝_______．

分析：

本題是一道将三個模型結合在一起的題目，我們要關注哪些角可以求，∠BDC是兩内角平分線的夾角，則知道∠A即可求，∠E是兩外角，∠MBC，∠NCB的角平分線的夾角，則知道∠BDC即可求，∠F是△EBC的内角∠EBC和外角∠ECQ的角平分線夾角，則知道∠E即可求．

解答：

例3：

分析：

解答：

綜上所述，結論正确的是①②③⑤共4個．

二、多邊形内外角計算

例1：

一個學生計算多邊形的内角和，少算了一個内角，得到答案是1400°，求少算的内角的度數及多邊形邊數．

分析：

顯然，根據多邊形内角和公式(n－2)·180°，可知内角和一定是180度的倍數，我們可以用1400除以180，算出其餘數，那麼自然可得，少算的那個内角與餘數的和一定是180度的倍數，而根據多邊形每個内角必然小于180°，則這個内角度數就是用180°減去這個餘數即可．

解答：

1400°÷180°＝7······140°，

180°–140°＝40°，

設多邊形邊數為n，

(n–2)·180＝1400＋40，

n＝10

答：少算的内角度數為40°，邊數為10．

例2：

一個學生計算多邊形的内角和，多算了一個外角，得到答案是1400°，求多算的外角的度數及多邊形邊數．

分析：

顯然，本題是上一題的變式，方法還是用1400除以180，算出其餘數，那麼多算的外角度數，就是這個餘數．

解答：

1400°÷180°＝7······140°，

設多邊形邊數為n，

(n–2)·180＝1400－140，

n＝9

答：多算的外角度數為140°，邊數為9．

例3：

一個多邊形每個内角都等于150°，求這個多邊形的邊數．

分析：

本題不難，但我們要學會多種思路解題，可以從多邊形内角和公式入手，也可以逆向思維，求出每個外角的度數，用外角和除以每個外角的度數．

解答：

法1：

設多邊形邊數為n，

(n–2)·180＝150n，

n＝12

法2：

180°－150°＝30°，

360°÷30°＝12

答：多邊形邊數為12．

三、作圖探究

例：

在△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分線，P是射線AC上任意一點(不與A、D、C三點重合)，過點P作PQ⊥AB，垂足為Q，交直線BD于E．

(1)探索∠PDE與∠PED的關系，畫出圖形并說明理由．

(2)作∠CPQ的角平分線交直線AB于點F，則PF與BD有怎樣的位置關系？畫出圖形并說明理由．

分析：

本題中，點P的位置不确定，在射線AC上，就有多種可能，線段AD上，線段DC上，線段DC延長線上，在延長線上時，又要考慮垂足Q的位置，可能在線段AB上，也可能在線段AB的延長線上．因此，分四種情況讨論．礙于篇幅，我們将兩小題的圖彙總在一起．

解答：

①點P在線段AD上

(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠C＝90°，

∴∠PED＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠CDB＝90°，

∵∠PDE＝∠CDB，∴∠CBD＋∠PDE＝90°，

∵BD為∠ABC的平分線，∴∠CBD＝∠EBQ，

∴∠PDE＝∠PED；

(2)在四邊形PQBC中，

∠CPQ＋∠CBA＝360°－2×90°＝180°

∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA

∴∠1＋∠2＝90°

∵∠1＋∠3＝90°

∴∠2＝∠3，PF∥BD

②點P在線段DC上

(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠C＝90°，

∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，

∵∠PED＝∠BEQ，∴∠PED ＋∠EBQ＝90°，

∵BD為∠ABC的平分線，∴∠CBD＝∠EBQ，

∴∠PDE＝∠PED；

(2)在四邊形PQBC中，

∠CPQ＋∠CBA＝360°－2×90°＝180°

∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA

∴∠1＋∠2＝90°

∵∠1＋∠3＝90°

∴∠2＝∠3，PF∥BD

③點P在線段DC延長線上，點Q在線段AB上

(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠ACB＝90°，

∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，

∵∠PED＝∠BEQ，∴∠PED ＋∠EBQ＝90°，

∵BD為∠ABC的平分線，∴∠CBD＝∠EBQ，

∴∠PDE＝∠PED；

(2)∵∠CPQ＋∠A＝90°

∠CBA＋∠A＝90°

∴∠CPQ＝∠CBA

∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA

∴∠1＝∠2

∵∠1＋∠3＝90°

∴∠2＋∠3＝90°，PF⊥BD

④點P在線段DC延長線上，點Q在線段AB延長線上

(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠ACB＝90°，

∴∠PED＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，

∵∠ABD＝∠EBQ，∴∠PED ＋∠ABD＝90°，

∵BD為∠ABC的平分線，∴∠CBD＝∠ABD，

∴∠PDE＝∠PED；

(2)∵∠CPQ＋∠A＝90°

∠CBA＋∠A＝90°

∴∠CPQ＝∠CBA

∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA

∴∠1＝∠2

∵∠1＋∠3＝90°

∴∠2＋∠3＝90°，PF⊥BD

上講思考題答案

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