随機性是一個我們熟悉的概念，但是，給這樣一個我們熟知的概念下正式的定義卻又出奇的困難。我們認為，随機過程是一種以無法預測的方式随時間的推移而發展的過程。從煙囪中冒出的煙霧就是一個很好的例子。雖然沒有任何可以準确預測煙流形狀的辦法，但我們可以用數學語言——概率論——對随機性加以描述，從而預測出煙流更可能會形成怎樣的形狀。

煙霧的形成就是一個固有的随機過程的例子，且有證據表明自然在最基礎的層面上就是随機的。描述着微觀尺度的物理行為的量子力學認為，在基礎層面上，自然是随機的。這與19世紀的那些物理學定律非常不 同，比如牛頓運動定律。牛頓的物理定律是決定性的：假如你是在每個特定的時刻都能精确地描述出世界上所有的事物的上帝，那麼你就具備了預測整個未來的能力。

但根據量子力學，情況可并非如此。試想你有一個分束器（一種将光束分成兩束的裝置）；一半的光線能穿過分束器的表面，另一半的光線則從表面反射回來。那麼如果向分束器發送一個單光子光束又會發生什麼呢？答案是我們無法确定。即使你無所不知，了解與光子和這一實驗有關的所有内容，也無法預測光子的路徑。唯一可以說的是，光子有1/2的概率被反射，1/2的概率繼續直線傳播。

信息不足

大多數我們用到概率論的時候，不是為了處理一個基本的随機過程。相反，通常是因為我們不具備預測過程結果所需的全部信息。因此從某種意義上來說，我們隻能靠猜，猜測結果會是什麼、以及不同結果的發生概率有多大。我們作出這些“猜測”、或對其進行解讀的方式取決于我們采納的是概率概念中的哪種诠釋。

第一種诠釋是主觀的——它将概率理解為在事件發生前，對某一特定結果出現的可能性的一種猜測。這種解釋被稱為貝葉斯定理，是以英國統計學家托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes）命名的，他根據已擁有的證據提出了一種計算概率的方法。

貝葉斯定理特别的地方在于，它讓我們根據最新的證據，不斷更新我們對于産生某一結果的可能性的信念。其中一個例子就是，在選舉過程中，不同候選人在未來赢得選舉的百分比概率的變化。之前人們普遍認為，希拉裡·克林頓會赢得2016年的美國總統大選：民意測驗剛開始時，統計估算出她的獲勝概率為85％。随着關于民意調查信息的不斷公開，這一信念（概率）在被不斷地更新，直到最後變為0％，明确地标志着她的失敗。

另一種對概率的诠釋是客觀的——即我們對一個相同的實驗進行多次重複的實驗，并記錄結果的發生頻率。這個頻率被認為是該結果發生的概率，被稱為概率的頻率論解釋。

統計學家經常争論兩者孰是孰非：支持第一種解釋的人（貝葉斯定理）和那些支持頻率論的人究竟誰才是對的。（例如，如何用頻率論來解讀希拉裡赢得選舉的概率？她根本無法重複參與選舉啊！）

不可知論的統計學

作為數學家，我們試圖置身于這些争論之外。我們有幸能将這些問題抛到一邊，而隻關心數學上的随機理論——這是個很好的理論！從數學角度來看，它絕不存在任何争議，并且我們有一個關于如何使用概率的确切理論。

例如，假設我有一個六面的骰子，并假設這個骰子是公平随機的，那麼我們可以說投擲出任何特定數字的概率都是1/6。如果我想扔出的數為偶數，即2、4、6，那麼就可以将這三個結果的概率加在一起，因為它們的存在是相互排它的：

P（偶數）= P（2或4或6）= 1/6 1/6 1/6 = 1/2。

假如我們有兩個骰子，想要算出扔出兩個6的概率，那麼我們就可以将個體結果的概率相乘，因為這兩個結果是各自獨立的：

P（兩個6）= P（6和6）= 1/6×1/6 = 1/36。

無論你遵從哪一種統計學，描述概率的數學都是完全明确的。

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