如今有很多人在思考如何才能将我們的社會和數學正确地關聯起來。難道數學僅僅是一個助你大學畢業、成功邁入職場，從而實現人生現實目标的工具？難道數學落在普羅大衆的手裡隻能是廢銅爛鐵，隻有在精英人士的手中才能變成強兵利刃？如果一輩子都用不上自己的所學所得，學習數學還有沒有意義？很多人都在擔心，将來的工作可能完全用不到之前學到的那些數學知識。

如今，包括那些核心崗位在内，數學工具在每個工作領域中都占據着相當重要的地位；全世界市值最高的四個公司全部是科技公司，這意味着權力越來越集中在那些數學能力極強的人的手中。

不僅如此，年輕人日常生活中使用的各種工具也和數學有着千絲萬縷的聯系。比如搜索引擎可以滿足我們每一次突如其來的好奇心，其核心算法就是線性代數；屏幕上的各種廣告也是基于博弈論推送到我們面前的。

再比如已經變成數字管家的智能手機，可以在代數的幫助下把我們的數據鎖在一個個櫥櫃裡，在基于統計學設計出的傳感器的幫助下準确識别我們的語音指令，在解壓縮算法的幫助下播放出一段段令人身心愉悅的美妙音樂。

研究表明，對數學感到焦慮的父母會把這種焦慮傳遞給孩子。

如果你問我為什麼學習數學，我會回答：“因為數學能夠幫助人們煥發應有的光彩。”

本文出處：《數學的力量：讓我們成為更好的人》，[美]弗朗西斯·蘇著，沈吉兒、韓潇潇 譯，中信出版集團2022年6月版。

換句話說，數學能夠讓人繁榮發展。

我所認為的繁榮，指的是知行合一，指的是每個人都能在充分發揮自己潛能的同時幫助他人挖掘潛能，指的是行事果敢自信，懂得尊重他人，即便身處逆境也堅持自我。這裡的繁榮不等同于幸福快樂，也不單指某種心态，而是代表着人類良好的生活狀态。

我認為适當的數學訓練有利于人們形成豐盈的美德。

數學對我們來說到底有什麼價值？

當人們問：“我這輩子真的有機會用到數學知識嗎？”他們實際想問的是：“數學對我來說到底有什麼價值？”

電影《美麗心靈》（2001）劇照。

土星環圍繞在土星周邊，位于赤道平面之上。從遠處看，它們就像一條條靜止不動的環狀綢帶，但事實上它們的主要成分是巨型岩石（小衛星），這些岩石内含有大量水冰，在重力的影響下繞土星旋轉。天文學家伽利略在望遠鏡的幫助下于1610年成為曆史上第一個觀測到土星環的人。當時他并不确定自己看到的是什麼，便打趣地将其稱為“耳朵一樣的東西”。後來在其他天文學家的努力下，人們終于确定，這是土星的環狀結構，環與環之間存在許多空隙。在旅行者号探測器的幫助下，我們掌握了環狀結構的精密細節，比如高密度波紋和低密度波紋的分布模式，酷似老式黑膠唱片上的凹槽。

某些環狀結構其實可以用數學規律來解釋。所有與土星距離相等的冰岩繞土星公轉所需要的時間相等，換句話說，它們具有相同的軌道周期。冰岩距離土星越遠，受到的引力就越小，相應的軌道周期就更長，速度就更慢。為了更加直觀，我們可以把這些土星環想象成田徑跑道。和外圈的運動員相比，内圈的運動員會更占優勢，單圈長度更短。

當冰岩軌道周期和土星衛星軌道周期呈現整數比的時候，我們就能看到一些較為特殊的現象。假設現在有一塊冰岩在内圈運動，還有一顆衛星在外圈繞土星運轉，在内圈的冰岩跑完兩圈時在外圈的衛星剛好跑完一圈。也就是說，冰岩每運動兩個周期就能在同一個位置上和衛星擦肩而過。

就是在這每一次擦肩的瞬間，衛星對冰岩的引力作用最強。由于每次引力極值都發生在同一個位置，二者之間的引力強度便會越來越高，逐漸讓冰岩軌道産生擾動。這很像你在後面推一個小孩蕩秋千，你的推力和秋千同步了，孩子就能蕩得更高。由于和土星距離相同的那些冰岩具有相同的軌道周期，它們都有偏離軌道的趨勢，這就是所謂的共振效應。這種效應強到一定程度時就會迫使環狀結構之間産生裂縫。

土星内軌道上的冰岩即将超越土衛一。如果冰岩總是反複在同一位置上超越土衛一，那麼日積月累之下，土衛一的引力作用就會迫使冰岩逐漸偏離軌道（《數學的力量》内頁插圖）

土衛一附近存在一個冰岩軌道，二者軌道周期比例恰好為2∶1，相應的共振催生了最大的土星環縫，也就是寬達3000英裡的卡西尼縫（Cassini division）。其實，更小的整數比（例如3∶2或者4∶3）也會形成類似的共振效應，隻不過沒有前者那麼顯著，最終的效果與其說是裂隙，不如說是波紋。衛星與冰岩之間的共振效應，可以解釋土星環中的許多特征。這些冰岩在引力的作用下翩跹于軌道之上，将冰冷的數字（前面那些簡分數）呈現為一支支美輪美奂的舞蹈！

數學的本質是探索，而不是記憶

數學研究的根本就在于探索和理解。

探索不僅是人類内心深處的潛在渴求，也是人類繁榮的标志。

遊戲就是一個最好的例子，尤其是策略遊戲，博弈過程中往往會湧現出各種奇妙的數學問題，将探索精神展現得淋漓盡緻。

Achi是一種流行于西非加納阿散蒂人之間的雙人策略遊戲。遊戲雙方各持4枚棋子，交戰于一張3×3的網格狀棋盤（由3條橫線、3條豎線、兩條對角線構成，9個交彙點構成9個空位）之上。乍一看跟井字棋很像，但細節上又有着微妙的不同。遊戲開始後，兩名選手輪流将自己手中的棋子放在心儀的空位上，最先将3枚棋子連成一條直線的人獲勝。如果8枚棋子落定，雙方均未連出直線，那麼棋盤上必然還存在一個沒有棋子的空位，此時對局進入第二階段，雙方輪流将己方棋子沿直線移動到剩餘的那個空位上，但不允許跳棋，率先連成直線的一方将赢得比賽。

此時8枚棋子全部落定，勝負未分，遊戲進入第二階段，玩家要輪流将自己的某個棋子移動到空位上，直到有人連出直線獲得勝利（《數學的力量》内頁插圖）

以上便是Achi的标準遊戲規則，雖然看起來條理清晰，其實規則仍有很多模糊之處。比如，第二階段某人4枚棋子全部卡住動彈不得怎麼辦？是不是隻要雙方積極對弈（決不放棄任何赢得比賽的機會）就能避免棋子卡住？就算棋子沒有卡住，難道選手就不能跳過此回合選擇靜觀其變嗎？數學分析能夠幫你解答這些問題，告訴你如何抉擇才能讓對局變得更加扣人心弦。既然存在這麼多特殊情況，我們不禁會産生這樣的疑問：Achi會不會一直玩下去，陷入無人能夠取勝的僵局？遊戲是否存在某種必勝策略（無論一方如何出招，另一方都能獲取最終的勝利）？能否把交戰雙方的棋子從4枚減少到3枚？能否重新設計棋盤，創造出更有趣的玩法？

能夠提出這樣的問題，說明你已經是數學探索者，試圖尋求遊戲萬般變化所依據的數理邏輯。

我們必須時刻警醒自己，數學的本質是探索，而不是記憶。

有經驗的數學老師會循循善誘，培養我們的探索精神。阮芳就是這樣一位數學教師，她曾對同行們提出過一個倡議：“評判教學質量的依據，不應看學生交出了怎樣的答卷，而應看學生提出了怎樣的問題。

基礎數學研究往往也會（通常都是很多年以後）帶來令人贊歎的實際應用。

比如對素數本源的探究促進了密碼學的發展；對拓撲學紐結理論的探索如今應用到了蛋白質折疊規則中，拉東變換（Radon transform）原理逐漸成為CAT掃描技術的數學原理。

英國數學教師兼科普作家本·奧爾林（Ben Orlin）曾在令人拍案叫絕的《歡樂數學》（Math with Bad Drawings）一書中分析了什麼是枯燥乏味的問題，什麼是值得探索的問題，以及二者之間的區别。他舉了這樣一個例子：

現有一個長11米、寬3米的矩形，請你求出它的面積和周長。

這個問題相當無聊，因為它把面積和周長兩個有趣的概念硬生生地變成了數學公式的計算，根本是撿了芝麻丢了西瓜，讓人摸不清數學概念的真實意義。

本·奧爾林在書中這樣表示：“這隻是将兩個數字簡單相乘，沒能讓你明白‘面積’實際上指的是填滿這個矩形到底需要多少個1×1大小的正方形。”即便你做了20道類似的數學題，你對幾何學仍然可能一竅不通。圖中的問題才是一個更有趣的、更具有探索價值的問題。

《歡樂數學》中的插圖按照作者本·奧爾林自謙的說法，這是一張潦草的塗鴉（《數學的力量》内頁插圖）

的确，這樣提問就好多了，趣味性可以說是直線上升，而且能夠幫助你深度理解矩形的本質。奧爾林表示，這個問題還可以繼續“進化”——“請你構建兩個矩形，使前者的周長是後者的兩倍，而後者的面積是前者的兩倍。”跟這樣的好問題較勁，可以培養屬于你自己的認知方式，形成屬于你自己的解題思路。這才是最棒的學習體驗。

每個人都是一名數學探索者

探索可以培養我們對賦魅的期待。

數學當中也存在着同樣令人期待和渴望的“怪獸”，空間填充曲線（space-filling curve）便是其中之一，這是一條能遍及正方形内每一點的曲線。盡管這條曲線無法用畫筆繪制出來，但數學可以證明它的确存在。這種怪異的曲線如今已經被科學家應用到了計算機科學和圖像處理等領域。

圖中這類極緻形态的曲線就是空間填充曲線，每次變化之後，它們都會以更蜿蜒曲折的方式穿過給定的平面區域。沒錯，數學中确确實實存在這種神奇的極限形式（《數學的力量》内頁插圖）

另一隻“怪獸”叫作巴拿赫-塔斯基悖論，它證明了一個令人難以置信的結論：一個實心球可以切分成5份，然後重新組合成兩個和原實心球同樣大小的新實心球。肯定有人會問：如果真這麼厲害，你為什麼不拿金球去分割呢？答案很簡單——真實空間不能像理想化空間那樣可被無限分割——現實事物的本質與數學模型之間存在一定差距。

如果能夠以探索的眼光來審視生活，你就會發現每一道風景背後都埋藏着不為人知的寶藏，你需要做的就是鍛煉自己的創造性思維，推測出寶藏的位置，然後把它們挖掘出來。

琳達·古戸發現，無論是海洋動力學還是潛水極限時長的優化，其實身旁到處都能看到數學的應用。

以數學探索者的眼光去審視世界不僅有利于加深對海洋生物學的理解，還能促進對海洋生态環境的保護——線性函數可以模拟藻類侵入對珊瑚礁的危害，矩陣可以描述海洋殘骸的富集過程，二次方程可以規劃有限島嶼資源的可持續發展之路。

我們天生就有求知的欲望和推理的能力，每個人都是一名數學探索者。

當你展開頭腦風暴試圖想出一些行之有效的策略來解決問題時，你會遇到這樣一個階段，在這個階段你必須弄清問題的真正含義，同時你還要剔除那些無關緊要的細節以便将問題歸類，然後在腦海中思索這個問題和你之前解決過的那些問題有何關聯。這個過程其實就是在剖析問題，找出問題的本質。

想要抓住問題的本質，弄清它的意義或含義，你就必須找到這個問題和其他事物的關聯。比如每當你思考生命的意義，你實際上就是在思考自己在宇宙中所扮演的角色。每當你想要弄清奇異事件的意義，你實際上并沒有把它當作一個孤立事件，而是将它和其他事件放到一起，思考它的前因後果。再比如你想在字典裡查找某個單詞的含義，你會發現這個詞必須放到句子中才能做出具體解釋。

每個數學概念都伴随着多個隐喻

數學概念也是一種隐喻。

我們以數字7為例。想要跟大家分享和數字7相關的趣味知識，你在聊天的時候就得把它和其他事物放在一起。

我們說數字7是素數，實際上是在談論它和因數（那些能整除它的數字）之間的關系。

我們說數字7在二進制中可以寫作111，實際上是在探讨它和數字2之間的聯系。我們說數字7是一周的天數，實際上是在告訴大家它和日曆之間也能産生有趣的“化學反應”。因此，數字7既是一個抽象的概念，也是幾種具體的隐喻：一個素數，一個二進制數，一周的天數。

同理，勾股定理也不僅僅是關于直角三角形三邊關系的陳述，從隐喻的角度來看，它同時也是你新學到的每一個能夠闡釋勾股定理為什麼正确的證明、你新發現的每一個能夠展現勾股定理實用性的應用。因此，每當你遇到新的證明方法，看到新的應用方式，勾股定理對于你的意義都會随之加深。

每個數學概念都伴随着多個隐喻，正是這些隐喻塑造了數學概念對于人們的意義。

沒有任何概念能夠獨立存在，因為獨立會使其消亡。

意義是人類最本能的一種渴求。

對意義的不斷追求，可以幫助人們培養某些相當重要的優秀品格。

首先，它可以培養我們構建故事的能力。幾千年來，人們一直都在以故事為載體來記述曆史、傳承真理。故事可以将彼此毫不相幹的事件串聯起來，在聽衆和故事之間，以及聽衆和聽衆之間建立起一種微妙的聯系。數學也一樣，想要尋求數學的意義，将各種數學概念串聯起來是一個不可或缺的過程，能做到這一點的人會自然而然地變成故事的構建者、傳播者。

抛開對象之間的關系，孤立地看待某個對象本身，其實沒有什麼意義。而函數就意味着某種關系。函數可以被視為一個“故事”。

構建故事的方法多種多樣，我們不妨仍以勾股定理為例。根據勾股定理，直角三角形三條邊的邊長a、b、c滿足以下關系：

其中c是斜邊（最長的那條邊）的邊長。

我們可以構建一個講述幾何關系的故事：利用直角三角形的三條邊畫出三個正方形，你會發現勾股定理實際上意味着：兩個小正方形的面積之和等于大正方形的面積。

我們也可以構建一個故事來闡釋這條定理的重要意義：“勾股定理是整個三角學的基礎，也是幾何學中尤為關鍵的一個定理。”

我們還可以構建一個以史實為基礎的故事，把勾股定理放到曆史背景當中：“畢達哥拉斯學派對該定理的證明，比歐幾裡得對該定理的證明早了好幾個世紀。”

數學探索者們更喜歡解釋性的故事。換句話說，他們更喜歡定理的證明過程。

下圖完美诠釋了什麼叫作“無字證明”——巧妙地把正方形分割成幾個不同區域，就能說明勾股定理的正确性。仔細觀察下圖中兩兩對應的區域我們就會發現，大正方形的面積剛好等于兩個小正方形的面積之和。（這種分割方法适用于任意一個直角三角形，具體原理值得你認真思考一番。）

勾股定理還可以構建一個物理故事。

如果把一個速度的矢量形式分解成水平方向和垂直方向的兩個分量，你就會得到一個矢量形式的直角三角形。另一方面，矢量線段的長短代表速度的大小，而動能剛好與速度大小的平方成正比。根據勾股定理，将物體沿斜線推出所需要的能量，等于将物體沿水平方向推出所需要的能量與将物體沿豎直方向推出所需要的能量之和。

你還可以通過遊戲、探究式學習、制作實物模型等方式來構建一個互動性的故事。比如你可以親自體驗一下木匠用木棍創造直角的小技巧：考慮到3² 4²=5²，你可以先把兩根木棍的端點拼在一起，随便擺出一個角度，然後以這兩個相互重疊的端點為原點，在某根木棍3個單位長度的地方做一個标記，在另一根木棍4個單位長度的地方做另一個标記，然後耐心調整角度，使得兩個标記之間的距離剛好為5個單位長度。然後你就會發現，此時的角度恰好就是一個直角。

構建故事是記憶新知識的重要手段。如果能把各種知識合理地融入故事中，記住它們就不再是一件令人頭疼的事了。

對意義的不斷追求，還可以鍛煉我們的抽象思維能力。

人們總覺得抽象思維脫離實際，其實恰恰相反，抽象思維能夠讓事物的實際意義變得更豐富。當你發現兩個事物具有相似的結構脈絡或行為模式時，這種相似就建立了一種聯系，你就發現了一種前所未有的實際意義。

龐加萊有句名言：“所謂數學，本質上就是給不同事物起同一個名字。”

如果你這輩子隻見過一條狗，而且它恰好是一條德國牧羊犬，那麼你可能會覺得，“狗”這個概念等同于德國牧羊犬。隻有不斷見到更多的狗，你才會明白，“狗”的含義可不僅僅是你之前認為的那樣狹窄。之所以說抽象思維能夠豐富實際意義，是因為抽象思維可以幫你建立樣本庫，提煉出事物的本質，比如認識狗。如此一來，你就能看到不同事物之間的共通之處。

數學學習過程中的核心内容就是不斷追尋各種意義

學習代數有很多好處，其中相當關鍵的一點就是它能幫助我們看到問題較為抽象的一面。

它能将我們塑造成思維靈活的人，幫助我們認清事物之間的規律和聯系，根據缜密的推理找到解決某一類問題的“萬能鑰匙”。利用代數，我們給出了計算複利、卡路裡的消耗、擲硬币的概率的通用公式，這些公式不僅能解決眼前的問題，也能解決情形不同但類型相同的其他問題。

電影《美麗心靈》（2001）劇照。

從狹義的角度來看，二次方程求根公式隻能用來求解二次方程，但如果把視野放寬，我們就會發現其實很多問題最終都能簡化為對二次方程求解。抽象思維可以讓我們的思考方式更靈活，無論對何種職業來說這都是一項必不可少的技能。既然現在我們可以針對多種不同情況總結出一個通用公式，那麼将來我們就可以把這種能力應用到更廣的範圍中，比如寫出一段可以輕松處理任意大小的輸入值的計算機程序，或者建造一座能夠容納各行各業人士的摩天大樓。

抽象思維能力帶給我們的巨大收益不僅體現在職業生涯中，還體現在生活的各個方面。分析問題時，我們不是經常需要剝離無關細節、直指問題核心嗎？看待問題時，我們不是經常需要站在不同角度、全面認知事物嗎？學好數學，不是會讓我們在這些方面更加得心應手嗎？答案不言自明。

對意義的不懈追求可以順帶培養我們堅韌不拔、沉着思考的品格。隻有不斷思考，才能辨明某個思想的真正意義。

數學學習過程中的核心内容就是不斷追尋各種意義。

所謂數學，就是研究各種規律的科學，同時也是一種不斷探尋各種規律的意義所在的藝術形式。

本文選自《數學的力量：讓我們成為更好的人》，較原文有删節修改。小标題為編者所加，非原文所有。已獲得出版社授權刊發。

原文作者/ [美]弗朗西斯·蘇

摘編/安也

編輯/宮子

校對/柳寶慶

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!