如果有人問你：“三角形内角和等于多少？”你肯定會不假思索地告訴他：“180°！”

假如那個人說不是180°，那麼你可能會認為他無知。

其實，“三角形内角和等于180°”隻是歐幾裡得幾何學（Euclid Geometry）中的一個定理。也就是說，在歐幾裡得幾何學裡，一個三角形的内角和等于 180°，但如果跳出歐幾裡得幾何學的範圍，一個三角形的内角和就不一定等于 180°！

舉個栗子，地球的赤道、0 度經線和 90 度經線相交構成一個“三角形”，這個“三角形”的三個角都應該是 90°，它們的和就是 270°！

你感到奇怪嗎？你知道除了歐幾裡得幾何（歐氏幾何）學外，還有其他幾何學嗎？這些幾何學稱為非歐（歐幾裡得）幾何學。

歐式幾何

想要探索非歐幾何，先要了解歐式幾何。歐幾裡得幾何指按照古希臘數學家歐幾裡得的《幾何原本》構造的幾何學。有時單指平面上的幾何，即平面幾何。數學老師課堂上教授的就是歐式幾何。它有以下幾條簡單的公理：

1、任意兩個點可以通過一條直線連接。

2、任意線段能無限延長成一條直線。

3、給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。

4、所有直角都全等。

5、若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的内角之和小于兩個直角和，則這兩條直線在這一邊必定相交。

這五條“顯然”的公理是平面幾何的基石，我們也是仰仗這些公理幹掉了一道道幾何題目。但機智的你有沒有發現第五公設（平行公設）和前面的四個公設比較起來，文字叙述冗長，而且不那麼顯而易見，有違數學的簡潔美感呢?

在《幾何原本》中，證明前28個命題并沒有用到這個公設，這很自然引起人們考慮：這條啰哩八嗦的公設是否可由其他的公理和公設推出，也就是說，平行公設可能是多餘的。

羅氏幾何的誕生

因此，一些數學家提出，第五公設能不能不作為公設，而作為定理？能不能依靠前四個公設來證明第五公設？這就是幾何發展史上最著名的，争論了長達2000多年的關于“平行線理論”的讨論。

由于證明第五公設的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走得不對。第五公設到底能不能被證明？

到了十八世紀，俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基（ Lobachevsky）在證明第五公設的過程中走了另一條路。羅巴切夫斯基的爸爸“老羅”也一生緻力于研究第五公設的證明，但并沒有什麼成果，老羅曾告誡自己的兒子“小羅”：“你不要搞第五公理了，我都研究一輩子了，都沒搞出來，這簡直是數學家的噩夢。”

然而小羅并沒有聽從老爸的建議。他提出了一個和歐氏平行公理相矛盾的命題“過直線外一點，至少可以作兩條直線和已知直線不相交”，用它來代替第五公設，然後與歐氏幾何的前四個公設結合成一個公理系統，展開一系列的推理。他認為如果這個系統為基礎的推理中出現矛盾，就等于證明了第五公設。我們知道，這其實就是數學中的反證法。

羅氏幾何符合雙曲面模型

但是，在他極為細緻深入的推理過程中，得出了一個又一個在直覺上匪夷所思，但在邏輯上毫無矛盾的命題。最後，羅巴切夫斯基得出兩個重要的結論：

第一，第五公設不能被證明。

第二，在新的公理系統裡展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上沒有矛盾的新的定理，并形成了新的理論體系。這個理論體系像歐氏幾何學的理論體系一樣是完備的、嚴密的。

左：歐式幾何 右：羅氏幾何

這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何學，簡稱羅氏幾何學（Lobachevskian geometry），也是我們最早發現的非歐幾何學。

羅氏幾何學的公理系統和歐氏幾何學不同的地方，僅僅是把歐氏幾何學平行公理“過直線外一點，能并且隻能作一條直線平行于已知直線”用“過直線外一點，至少可以作兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，經過演繹推理卻引出了一連串和歐氏幾何學内容不同的新命題。

機智的你可能已經發現，上面這些命題和我們的直覺是矛盾的。但是，數學家們經過思考提出，可以用我們習慣的辦法作一個直觀“模型”來證實它的正确性。

拟球曲面

1868 年，意大利數學家貝特拉米發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何學可以在歐幾裡得空間的曲面（例如拟球曲面）上實現。他發現這裡三角形的三個内角之和小于180°，這相當于給羅氏幾何找到了一種有實際意義的模型。

那個時代被譽為“數學王子”的高斯也發現了第五公設不能被證明，同時也涉足了非歐幾何學的研究。但高斯害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和迫害，不敢公開發表自己的研究成果，隻是在書信中向朋友表示了自己的看法，并沒有公開支持羅巴切夫斯基的新理論。

黎曼幾何學

那麼既然我們能把第五公裡改成“過一點，有多條直線與已知直線平行”，是不是也可以改成“過一點，沒有直線與已知直線平行”呢？

于是，有個叫黎曼的聰明人，結合歐式幾何的前四條公裡加上“過一點，沒有直線與已知直線平行”創建了自己的幾何——黎曼幾何。比如，在一個球面上，過直線外一點所畫的直線一定與已知直線相交。所以黎曼幾何又稱橢球幾何。

##可能會有人說地球儀上的緯線是平行的呀？！但是注意曲率展開後的緯線是彎的，緯線上任意兩點最短連線不是緯線本身，當然赤道除外。球面上的直線隻有大圓。##

在航海學上黎曼幾何也得到了廣泛應用。地球本身就是曲面的，如果使用歐式幾何，隻會得到錯誤的結論。

Credit：B站 肉兔君

近代黎曼幾何學在廣義相對論裡得到了重要的應用。物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論裡，愛因斯坦放棄了關于時空均勻性的觀念，他認為時空是彎曲的，這恰恰是和黎曼幾何學的背景相似。正因為如此愛因斯坦在看到了羅巴切夫斯基和黎曼的發現之後，才會欣喜若狂，他終于找到了一種可以解釋相對論的數學工具了。

數學的意義就在于，它經常走在其他科學的前面，我們通過數學的研究，可以為其他科學提供很多幫助。

來源：牛油果進化論

編輯：AI

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