長方形中有幾個面的面積相等-tft每日頭條

長方形中有幾個面的面積相等

生活更新时间:2024-12-03 09:29:19

長方形面積一個有趣的性質

如圖1，經過長方形ABCD内一點O，分别與兩組對邊平行的兩條直線EF和GH将長方形ABCD分成的四個小長方形AEOG、BGOF、CFOH、DHOE中，設它們的面積依次為S_A，S_B，S_C，S_D，則S_A•S_C=S_B•S_D.

長方形中有幾個面的面積相等（長方形中四個小長方形面積的一個相等關系）1

即相對兩個小長方形面積的乘積相等。

證明：設AE=GO=BF=a，ED=OH=FC=b，AG=EO=DH=c，GB =OF =HC=d，則

S_A•S_C=ac•bd=abcd，

S_B•S_D=ad•bc=abcd，

所以S_A•S_C=S_B•S_D.

事實上這個結論對于平行四邊形也成立，對于任意四邊形被對角線分成的四個三角形也成立。

運用這個結論求解有關長方形面積問題異常簡便。請看：

例1 如圖2，三個小長方形的面積圖中所示，第四個小長方形的面積S=_________。

長方形中有幾個面的面積相等（長方形中四個小長方形面積的一個相等關系）2

解：由上述結論，得

14S=6×35，所以S=15.

例2 如圖3，直角三角形ABC中，∠A=90°，正方形AEFG的頂點E、F、G分别在AB、BC、AC邊上，如果△BEF的面積為8，△CFG的面積為18，則正方形AEFG的面積為_________。

長方形中有幾個面的面積相等（長方形中四個小長方形面積的一個相等關系）3

解：以AB、AC為一組鄰邊作長方形ABMC，延長EF交MC于H，延長GF交BM于N。則

長方形BEFN的面積為16，長方形CGFH的面積為36。設正方形AEFG的面積為S。

因為△BMC的面積=△ABC的面積，S△CFG=S△CFH，S△BFE=S△BFN，

所以長方形MNFH的面積=正方形AEFG的面積=S，

所以S^²=16×36，

所以S=4×6=24.

事實上，将正方形AEFG換作長方形結論也是成立的。

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