在曆史上，有一位數學家叫歐拉，他的徒弟叫拉格朗日，他徒弟的徒弟叫柯西。

這個徒弟的徒弟雖然比不上他，但是還是寫了些東西的做出了一些成就的，他....

他的著作多達28卷

承包了那個時期的數學公式的前綴...

他開創了積分幾何，首先證明了階數超過了的矩陣有特征值，成功地建立了極限論，首先闡明了有關定積分的概念，并且用這種積分來研究多種多樣的問題等等等等

這位鼎鼎有名的數學大家就是...

放錯了....換一張嚴肅的

奧古斯丁·路易斯·柯西

Augustin Louis Cauchy

1789.8.21----1857.5.23

柯西法國數學家、物理學家、天文學家。他1789年出生于巴黎，父親是一位精通古典文學的律師，與當時法國的大數學家拉格朗日與拉普拉斯交往密切。

柯西少年時代的數學才華頗受這兩位數學家的贊賞，并預言柯西日後必成大器。（拉格朗日後面也确實擔任了他的老師）

1807年至1810年柯西在工學院學習，曾當過交通道路工程師。由于身體欠佳，接受了拉格朗日和拉普拉斯的勸告，放棄工程師而緻力于純數學的研究。

1821年柯西提出極限定義的方法，把極限過程用不等式來刻畫，後經魏爾斯特拉斯改進，成為現在所說的柯西極限定義。

雖然柯西主要研究數學分析領域，但他在其它方面的研究成果也很豐富。

複變函數的微積分理論就是由他創立的。在代數方面、理論物理、光學、彈性理論方面，也有突出貢獻。

柯西的數學成就不僅輝煌，而且數量驚人。柯西全集有27卷，其論著有800多篇，在數學史上是僅次于歐拉的多産數學家。

那麼大緻介紹了一些正經的，接下來就讓我們聊些不正經的他的人生經曆吧！(/≧▽≦)/

是這樣的，即使是大佬，也一定會有黑曆史，柯西也不例外。

他以前的綽号都很奇怪，一個是“苦瓜”，一個是“腦筋劈哩啪啦叫的人”(意思就是神經病)

苦瓜從上面的表情包上可以看出一些端倪——小時候的柯西長得可太嚴肅了。他平常像一顆植物一樣，靜靜啥也不說。如果說了什麼，也就是很簡短的那種，正常智商的人基本都無法理解他在說什麼....

想也知道，和這種大佬溝通，随時都會感受到智商受辱的。于是小夥伴們都叫他“苦瓜”了。

（實際上叫苦瓜一定是因為周圍的人還是愛他的）

至于“腦筋劈哩啪啦叫的人”，是因為當時法國正在流行社會哲學，但是柯西閑着沒事的時候看的課外書是《拉格朗日數學全集》、《效法基督》這種畫風的....

而且當時他學的還是工科的道路規劃，所以會被這麼叫，也不奇怪了...

之前提到過，柯西的父親是一位精通古典文學的律師...所以其實柯西除了理科工科厲害至極以外，文學修養也很高。

因為柯西他是在學數學之前先學文學的啊

至于為什麼呢？有這兩種說法：

朗格朗日覺得柯西十分聰明，讓他15歲以前不要學數學。原因是他有個朋友叫拉普拉斯，從小學數學很刻苦，不到40就死了，所以拉格朗日覺得太早學數學的天才容易夭折(朗格朗日後來跟朋友說的)。他相信柯西日後必然能成為大數學家，所以15歲才把柯西接到自己的别墅獨自教育柯西（包養）。

最後拉格朗日經常被柯西虐。

不過這種說法戲谑的成分比較多，另一種說法就靠譜多了。

當時拉格朗日名聲很大人緣廣名聲好，柯西的父親看柯西很有數學天賦，自己又認識拉格朗日，就找到他希望他教柯西數學。

拉格朗日有識人智慧，他看了柯西之後，覺得他頭腦不錯，但心胸不大，所以叫他父親讓他先學文學，培養情操提升道德修養。

簡單來說就是先學文學修身養性。

不過似乎很多年後柯西當上數學院長，真的有排擠他人的嫌疑，人們也确實對于他疏于對于培養後輩這一點上有所争議。（明日來讀，柯西如何坑了兩位天才數學家）

不過除了這一點，柯西還有一個在當時十分有争議的地方，這可能和他的文學修養不錯有關。

那就是：他太能寫了！！！！甚至上演了巴黎紙貴的可怕情景。

柯西年輕的時候向巴黎科學院學報投論文，非常之快，非常之多

而這些論文寫出來肯定是要印刷的...印刷廠為了印制這些論文搶購了巴黎市所有紙店的存貨，使得市面上紙張短缺，紙價大增，印刷廠成本上升，民不聊生，社會各界怨聲載道...

于是科學院通過決議，以後發表論文每篇篇幅不得超過4頁。

柯西：我隻是想要創作！

于是柯西不少長篇論文不得在本國發表，隻能改投别國刊物。

可喜可賀，可喜可賀。

不過并不是他所有的創作質量都很高，因此他還曾被人批評高産而輕率。所以這樣看，也算是節約資源了吧x

總而言之，金無赤足，人無完人。名人趣事最大的貢獻就是讓我們了解到他們和常人相似的可愛的一面。柯西先生已經與世長辭，身後功名也由後人評判。

前方高能轉入正題

拉格朗日中值定理的意思就是：連接圖像上兩個點 A, B 畫一條線，要求畫出的線每個點都連續可導，那麼你畫出的這條線中至少會有一個點處的切線是與連接 A, B 的直線平行的。

我們可以用一個直觀的例子說明這個中值定理的意思：

有一輛汽車加速行駛，用8秒時間将距離從0推進到200米，很容易算出這8秒鐘内汽車的平均速度為25米/秒，那麼在這8秒内一定有某一時刻汽車的速度正好是25米/秒。

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，是微分學的基本定理之一。其幾何意義為，用參數方程表示的曲線上至少有一點，它的切線平行于兩端點所在的弦。該定理可以視作在參數方程下拉格朗日中值定理的表達形式。

柯西中值定理粗略地表明，對于兩個端點之間的給定平面弧，至少有一個點，弧的切線通過其端點平行于切線。

與拉氏定理的聯系

在柯西中值定理中，若取g(x)=x時，則其結論形式和拉格朗日中值定理的結論形式相同。

因此，拉格朗日中值定理為柯西中值定理的一個特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推廣。

證明

可構造輔助函數

，

在

上連續，在

内可導，且有

。

由羅爾定理可知，存在

，使得

，即

，又

，所以有

幾何意義

若令

，這個形式可理解為參數方程 ，而

則是連接參數曲線兩端點弦的斜率，

表示曲線上某點處切線的斜率，在定理的條件下，結論可理解如下：

用參數方程表示的曲線上至少有一點，在這一點處的切線平行于連接兩個端點的弦。

應用例子

1）泰勒公式

柯西中值定理最主要的應用是證明帶有拉格朗日餘項的

階泰勒公式，隻要反複使用柯西中值定理多次就能證明，下面以

為例說明。

例1設

在

内二次可微，證明：任意的

，在

之間存在

，使

這就是函數

在點

鄰域内的一階泰勒公式。

證明令

，

利用

，

，

，

。在兩次應用到柯西中值定理後可以得到：

命題得證。

2）洛必達法則

柯西中值定理的一個最重要的應用就是可以推導計算待定型的極限最有效的方法——洛必達法則。

洛必達法則是求兩個無窮小量或兩個無窮大量的比的極限。在滿足一定條件下可以化成兩個函數的導數的比值極限，這樣就有可能使得原待定型變成簡便而有效的求非待定型極限的問題。

我們得出下面這個定理（洛必達法則）：

⑴兩個函數

和

在開區間

可微，并且在這個開區間上，

的導數不等于0；

⑵存在極限

（或

），其中A為一個有限的常數。則在以下情況下：

（或者

和

）。那麼就有：

（或

）。在區間的另一個端點也存在相類似的結果。這個定理就稱之為洛必達法則，能有效地應用于待定型的極限計算。

3）不等式

柯西中值定理在不等式的證明也有廣泛應用，關鍵是f(x)和g(x)要選得恰當。

例3試證明當

時，

。

證明 設

，則

在區間

上滿足柯西中值定理條件，所以存在

，使

，即

結論得證。

4）中值點

中值點的存在性的證明是柯西中值定理最典型的應用之一。

例4設

，函數

在區間

上連續，在

内可導，則存在

，使得

。

證明 設

，

，顯然

在

上滿足柯西中值定理的條件，于是存在

，使得

即存在

，使得

，即可得結論。

怎麼樣你學會了嗎？

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