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世界三大數學猜想即：費馬猜想、四色猜想和哥德巴赫猜想。

(1) 費馬猜想的證明于1994年由英國數學家安德魯·懷爾斯完成，遂稱費馬大定理；

(2) 哥德巴赫猜想尚未解決，最好的成果（陳氏定理）乃于1966年由中國數學家陳景潤取得。這三個問題的共同點就是題面簡單易懂，内涵深邃無比，影響了一代代的數學家；

(3) 四色猜想的證明于1976年由美國數學家阿佩爾與哈肯借助計算機完成，遂稱四色定理。

難易指數：★★★★★

适宜對象：數學興趣班

本期編号：D00091

世界三大數學猜想

(一) 歐拉猜想(又稱費馬大定理)

1、内容

當整數n > 2時，關于x、y、z的不定方程 x^n y^n = z^n 無正整數解。或者是當∀b>2時，n-1∑aⁿi無正整數解。

2、簡介

懷爾斯和費馬大定理

這個定理，本來又稱費馬最後的定理，由17世紀法國數學家費馬提出，而當時人們稱之為“定理”，并不是真的相信費馬已經證明了它。

雖然費馬宣稱他已找到一個絕妙證明，德國佛爾夫斯克宣布以10萬馬克作為獎金獎給在他逝世後一百年内，第一個證明該定理的人，吸引了不少人嘗試并遞交他們的“證明”。在一戰之後，馬克大幅貶值，該定理的魅力也大大地下降。

但經過三個半世紀的努力，這個世紀數論難題才由普林斯頓大學英國數學家安德魯·懷爾斯和他的學生理查·泰勒于1994年成功證明。證明利用了很多新的數學，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅華理論和Hecke代數等，令人懷疑費馬是否真的找到了正确證明。

而安德魯·懷爾斯由于成功證明此定理，獲得了1998年的菲爾茲獎特别獎以及2005年度邵逸夫獎的數學獎。

3、起源

1621年，20歲的費馬在閱讀一套公元三世紀希臘著名數學家丢番圖的《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁關于不定方程x2 y2=z2的全部正整數解這一頁上寫了一段話，概括起來說就是：“形如xn yn=zn的方程，當n>2時不可能有整數解。關于此，我确信已發現了一種美妙的證法 ，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。”

畢竟費馬沒有寫下證明，而他的其它猜想對數學貢獻良多，由此激發了許多數學家對這一猜想的興趣。數學家們的有關工作豐富了數論的内容，推動了數論的發展。

對很多不同的n，費馬定理早被證明了。但誰也沒有得到普遍的證明方法，三百年多年來，無數學者為了證明這個猜想付出了巨大的精力，但既不能證明又不能否定它。

（二）哥德巴赫猜想

1、猜想

史上和質數有關的數學猜想中，最著名的當然就是“哥德巴赫猜想”了。1742年6月7日，德國數學家哥德巴赫在寫給著名數學家歐拉的一封信中，提出了一個大膽的猜想：任何不小于3的奇數，都可以是三個質數之和（如：7=2 2 3，當時1仍屬于質數）。

同年，6月30日，歐拉在回信中提出了另一個版本的哥德巴赫猜想：任何偶數，都可以是兩個質數之和（如：4=2 2。當時1仍屬于質數）。這就是數學史上著名的“哥德巴赫猜想”。顯然，前者是後者的推論。因此，隻需證明後者就能證明前者。所以稱前者為弱哥德巴赫猜想（已被證明），後者為強哥德巴赫猜想。

由于1已經不歸為質數，所以這兩個猜想分别變為任何不小于7的奇數，都可以寫成三個質數之和的形式；任何不小于4的偶數，都可以寫成兩個質數之和的形式。

猜想手稿

2、簡述

歐拉在給哥德巴赫的回信中， 明确表示他深信這兩個猜想都是正确的定理，但是歐拉當時還無法給出證明。由于歐拉是當時歐洲最偉大的數學家，他對哥德巴赫猜想的信心，影響到了整個歐洲乃至世界數學界。

從那以後，許多數學家都躍躍欲試，甚至一生都緻力于證明哥德巴赫猜想。可是直到19世紀末，哥德巴赫猜想的證明也沒有任何進展。證明哥德巴赫猜想的難度，遠遠超出了人們的想象。有的數學家把哥德巴赫猜想比喻為“數學王冠上的明珠”。

我們從6=3 3、8=3 5、10=5 5、……、100=3 97=11 89=17 83、……這些具體的例子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。

有人甚至逐一驗證了3300萬以内的所有偶數，竟然沒有一個不符合哥德巴赫猜想的。

20世紀，随着計算機技術的發展，數學家們發現哥德巴赫猜想對于更大的數依然成立。可是自然數是無限的，誰知道會不會在某一個足夠大的偶數上，突然出現哥德巴赫猜想的反例呢？于是人們逐步改變了探究問題的方式。

1900年，20世紀最偉大的數學家希爾伯特，在國際數學會議上把“哥德巴赫猜想”列為23個數學難題之一。此後，20世紀的數學家們在世界範圍内“聯手”進攻“哥德巴赫猜想”堡壘，終于取得了輝煌的成果。

希爾伯特23問，解決其中任何一個，你就是名副其實的數學家

3、證明進程

20世紀的數學家們研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是篩法、圓法、密率法和三角和法等等高深的數學方法。解決這個猜想的思路，就像“縮小包圍圈”一樣，逐步逼近最後的結果。

1920年，挪威數學家布朗證明了定理“9 9”，由此劃定了進攻“哥德巴赫猜想”的“大包圍圈”。這個“9 9”是怎麼回事呢？所謂“9 9”，翻譯成數學語言就是：“任何一個足夠大的偶數，都可以表示成其它兩個數之和，而這兩個數中的每個數，都是9個奇質數之積。” 從這個“9 9”開始，全世界的數學家集中力量“縮小包圍圈”，當然最後的目标就是“1 1”了。

1924年，德國數學家雷德馬赫證明了定理“7 7”。很快，“6 6”、“5 5”、“4 4”和“3 3”逐一被攻陷。1957年，中國數學家王元證明了“2 3”。1962年，中國數學家潘承洞證明了“1 5”，同年又和王元合作證明了“1 4”。1965年，蘇聯數學家證明了“1 3”。

1966年，中國著名數學家陳景潤攻克了“1 2”，也就是：“任何一個足夠大的偶數，都可以表示成兩個數之和，而這兩個數中的一個就是奇質數，另一個則是兩個奇質數的積。”這個定理被世界數學界稱為“陳氏定理”。

由于陳景潤的貢獻，人類距離哥德巴赫猜想的最後結果“1 1”僅有一步之遙了。但為了實現這最後的一步，也許還要曆經一個漫長的探索過程。有許多數學家認為，要想證明“1 1”，必須通過創造新的數學方法，以往的路很可能都是走不通的。

（三）四色定理

四色問題的内容是：“任何一張平面地圖隻用四種顔色就能使具有共同邊界的國家着上不同的顔色。”用數學語言表示，即“将平面任意地細分為不相重疊的區域，每一個區域總可以用1，2，3，4這四個數字之一來标記，而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字。”這裡所指的相鄰區域，是指有一整段邊界是公共的。

四色猜想

如果兩個區域隻相遇于一點或有限多點，就不叫相鄰的。因為用相同的顔色給它們着色不會引起混淆。四色猜想的提出來自英國。

1852年，畢業于倫敦大學的弗南西斯·格思裡來到一家科研單位搞地圖着色工作時，發現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顔色着色，使得有共同邊界的國家都被着上不同的顔色。”

這個現象能不能從數學上加以嚴格證明呢？他和在大學讀書的弟弟格裡斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經堆了一大疊，可是研究工作沒有進展。

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