直與彎

咦？一根直杆為什麼能從彎曲的洞中穿過？

想想這其實不奇怪。這根杆是斜着的，杆中間的點離旋轉軸最近，因此對應的洞上的點離旋轉軸也最近；杆的兩邊離旋轉軸較遠，因此對應的洞上的點離旋轉軸也遠。所以，這個洞不會是直線，隻會是一條曲線。

那這是什麼曲線？感興趣的讀者可以自己動手算一算。答案是雙曲線。

把這個曲線繞旋轉軸旋轉一周，形成一個曲面，叫做單葉雙曲面。看看下圖你就會發現，這根杆所在直線是這個曲面的一部分：

這樣的特點使得單葉雙曲面在建築當中也有特殊的應用，比如說俗稱“小蠻腰“的廣州新電視塔。

圓錐曲線

大家都知道，橢圓、抛物線、雙曲線這些曲線稱為“圓錐曲線”。但這個詞是怎麼來的呢？

既然叫圓錐曲線，當然與圓錐有關。首先，我們來想象一個圓錐——确切地說，是一個圓錐面。它是一條直線繞與它相交（但不垂直）的另一條直線旋轉一周所形成的曲面。我們平常所見的圓錐體的側面，隻是圓錐面的一部分。

然後，我們用一個平面去截它。平面與圓錐面相交之處，是一條曲線。由于整條曲線都在這個平面上，我們可以把它看作一個平面曲線。這便是圓錐曲線。平面與圓錐的旋轉軸所成的角度不同，曲線就會變成不同的形狀：圓、橢圓、抛物線、雙曲線（其中圓可以看作是一種特殊的橢圓）。

對圓錐曲線的研究是從古希臘開始的。那時還沒有解析幾何，數學家研究圓錐曲線的時候，采用的就是上面的定義。古希臘數學家阿波羅尼奧斯就是從這樣的定義出發，寫下了八卷《圓錐曲線論》。

圖中還展示了一些圓錐曲線的退化情形：在平面經過圓錐的頂點的時候，圓錐曲線會變成兩條相交的直線，兩條重合的直線，或者一個點。

圓面積公式

圓面積公式S =πr2大家都學過，你還記得課本中如何講解這個公式的推導嗎？在我當年學習的人教版的教材中，是把圓剪成了一個個小扇形，然後把它們近似地拼成一個長為πr，寬為r的矩形。扇形裁得越小，拼出來的東西也就越接近矩形，然後用矩形的面積公式就可以計算了。

而這裡用了另一種辦法：把圓拆成一個個同心的細圓環。然後，把這些圓環展開，變成高為r，底邊長為2πr的的三角形。當然，這談不上是嚴謹的證明，但其中已經蘊含了一些微積分的思想。我們甚至可以利用類似于古希臘窮竭法的辦法，把它寫成一個相對嚴謹的證明。

無限雪花

“分形”這個詞大家可能已經見過很多次了。它的特點是自相似。比如說，上圖中的科赫曲線，它的局部放大之後和整體長得一模一樣。

那這樣的曲線是怎樣畫出來的呢？

我們先畫一條線段，然後把它三等分，将中間的那一段換成兩段同樣長的線段。這樣，我們就有了四條線段。對這四條線段也重複這一過程。每重複一次，稱為一次叠代。無限地叠代下去之後，我們就得到了科赫曲線。當然，實際畫圖的時候，不可能真的無限叠代下去，常常隻需要叠代有限多次，直到看不出區别了為止。

Matrix67在他的博客中也展示過科赫曲線的繪制過程：

朱利亞集

這是另外一種分形——朱利亞集（Julia set）。什麼是朱利亞集？我們首先固定一個常數C，對複平面上的一個點，不斷地重複進行變換z→z2 C。這樣得到的一些點會越跑越遠，一直趨向于無窮；而另一些點則一直呆在原點附近，不會跑出一個有限範圍。第二類的點所構成的集合，就是朱利亞集。當常數C取值不同時，畫出來的朱利亞集也會不同。上面的動圖就展示了在C變化時朱利亞集的變化。由這種方式生成的分形圖案被稱為“逃逸時間分形”。

但是，嚴格來說，上面所說的隻是“填充”的朱利亞集（filled-in Julia set）。真正的朱利亞集是它的邊界，也就是上圖中的白色線條部分。前面所講的變換，隻是一個二次多項式。對于“填充”的朱利亞集，這個概念可以推廣到一般的多項式。對于真正的朱利亞集，還可以推廣到分式。

而真正的朱利亞集又有另外一種畫法：

先選取一些點，然後對它們不斷地進行該變換的“逆變換”——準确的說法是取它們在這個變換下的原像，而一個點的原像往往不止一個。對變換z→z2 C來說，它的原像就是先減去常數C——在圖上看來就是平移；然後開平方根——一個數的平方根有兩個，在圖上看來是先扭一扭，再複制一個到下半平面。每一步都一個變兩個，因此出來的點會越來越多。這些點的極限便是朱利亞集。

布朗樹

這又是另外一種類型的分形——布朗樹，生成這種分形的過程，則叫做擴散限制聚集（Diffusion-limited aggregation，簡稱DLA）。

這過程說起來也很簡單：我們有很多粒子和一枚“種子”，粒子在空間中随機遊走，但隻要碰到種子就會在聚集它上面。種子上聚集的粒子越來越多，就會長成一棵有着錯綜複雜的結構的“大樹”。

科赫曲線和朱利亞集都很漂亮，但在日常生活中不太容易看到。布朗樹就不一樣了，我們可以在很多地方看到自然形成的布朗樹構造，比如說，在皮蛋上：

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