什麼是間接證明?

證明的方法之一是“反證法”——假設要證明的東西是假的，然後得到一個矛盾的結果。

作為第一個(非常簡單的)例子，考慮證明對于正整數a和b,−4≠1。

間接證明:

相反的，假設對于某些正整數a和b,−4≠1。我們有(a−2b)(a 2b)=1，這可以分為兩種情況:a−2b=a 2b=1或a−2b=a 2b=−1。

在第一種情況下，兩個方程相加得到2a=2，或a=1，從而得到b=0，這個解已經被拒絕了。

在第二種情況下，兩個方程相加，得到2a=−2，或a=−1，即a是負數，與已知的為正數矛盾。

因此，假設被證明是錯誤的，這意味着它的否定——最初的命題——是正确的。

在初等數學中，“反證法”通常是證明一個條件對另一個條件是必要和充分的最簡單的方法。例如，在直角三角形中，我們有勾股定理: =。其中a和b是直角邊，c是直角邊。我想證明逆定理為真的情況:如果在一個邊為a,b,c的三角形中: =，那麼c的對邊就是直角邊。假設這是假的，也就是說，c對邊的角不是直角。然後我們可以豎一條垂線垂直于b，然後把a放在那條垂線上:

根據勾股定理，剛剛構造的直角三角形的第三條邊等于c，這意味着現在有兩個不同的三角形具有相同的三條邊，這與SSS準則兩個三角形全等相矛盾。

再舉一個例子，我們知道，在同一個圓内接的邊并共用同一條弧的兩個圓周角是相等的。為了證明反命題，假設有兩個相等的角ABC和AB ' C，且點A,B,B '，C不是共圓的。這意味着B '不位于經過A,B,C的圓(ABC)上。隻考慮一種情況，B '位于圓外，所以CB’在D處穿過圓(當然還有其他可能性要考慮):

在這種情況下, ∠ADC 是三角形 ΔADB′的外角，因此：

∠ADC=∠AB′D ∠B′AD=∠ABC ∠B′AD>∠ABC.

但這與∠ABC和∠ADC是在同一個圓内的事實相矛盾，根據同一圓弧上的圓周角定理，它們應該相等。

另一個典型的例子是用反證法證明是無理數。

證明：假設是有理數，可以寫成=p/q, 即=2，這個等式告訴我們p是偶數。假設p和q互為素數，q必然是奇數。然而，偶數的平方能被4整除，這使我們得出q是偶數的結論(可令p=2k就可證得）。這是與p和q互為素數相互矛盾，所以不是有理數。

反證法的三個步驟:

• 假設陳述是錯誤的。
• 利用錯誤的假設推導出一些根本不成立的東西，比如矛盾或不真實的情況。
• 根據發現的與公理或定理相謬誤的矛盾，那麼間接證明原始的陳述一定是正确的。

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