01

理論準備

在将今天的内容之前，我們先了解常見的幾個名字。定點,定角，主動點，主動線，主動軌迹；從動點，從動線，從動軌迹.

瓜豆原理的性質

1.主動點的軌迹和從動點的軌迹一樣（也就是主動點是直線，從動點也就是直線。主動點是雙曲線，從動點也是雙曲線）

2.主動線與從動線夾角與主動軌迹和從動軌迹夾角相等

3.主動線與從動線比值與主動軌迹與從動軌迹比值相等

有了上面的性質基礎，我們來看下面的題型：

02

求動點軌迹解析式

1.如圖，△ABC為等邊三角形，且A的坐标為(4,0)。C為y軸上一動點，随着C的運動，B也跟着做相同軌迹的運動，求B運動軌迹的解析式____________

【法1】

分析：題目中A點為定點，C點為主動點，B點為從動點，并且他們之家的夾角也是固定的，所以是主從聯動的題目。我們知道C是在y軸上運動，軌迹為直線。題目說了B的軌迹和C的軌迹相同，也是直線。因此，我們可以利用求一次函數解析式的方法去求解。這裡找到B點軌迹上的兩個特殊點，然後利用待定系數法求解。

好啦，話不多說，看解析。

解析：如圖，當C點在原點時，B的坐标可以求得為(2,2)

當B點在x軸上時，B的坐标為(-4,0)

設B的軌迹解析式為y=kx b

∴2倍根号3=2k b,0=-4k b

k=根号3/3,b=4/3倍根号3

∴B所在直線的解析式為：y=3分之根号3.x 3分之4倍根号3

【法2】

分析：根據瓜豆原理性質求解。我們知道圖中A為定點，C為主動點，B為從動點。并且AB與AC的夾角為60°。因此，B點軌迹與C的軌迹夾角也為60°。因此可以快速求解。

解析：如圖，可以知道B所在直線與y軸夾角為60°，則B所在直線與x軸的夾角為30°。

又∵B的坐标為(-4,0)

∴B所在直線的解析式為：y=3分之根号3.x 3分之4倍根号3

點評：瓜豆原理的性質是我們解題的重要工具，掌握了瓜豆原理的性質，我們在解題的時候可以達到快速秒殺的效果。

2.如圖,△ABO為等腰直角三角形,A(−4,0)，直角頂點B在第二象限。點C在y軸上移動，以BC為斜邊作等腰直角△BCD，我們發現直角頂點D點随着C點的移動也在一條直線上移動，這條直線的函數表達式是___________.

【法1】

分析：本題文瓜豆原理問題，注意此題中D的位置有兩個，一個在BC的上面，一個在BC的下面。因此會有兩種情況。

由于題目告訴點D的軌迹是直線，因此我們隻需要找到兩個特殊點即可利用待定系數法求出函數的解析式。

解析：1°，當D在BC下面時。

如圖1，當C與原點重合的時候，D的坐标為(-2,0)。如圖2，當BD與y軸垂直的時候，D的坐标為(0,2)。

∴設D的直線解析式為:y=kx b。

将(-2,0)和(0,2)代入y=kx b可得：-2k b=0,b=2

解得：k=1,b=2

∴y=x 2

2°，當D在BC上面時。

如圖3，當C與原點重合時，D的坐标為(0,2)。當BC與y軸垂直時，D的坐标為(-1,3）

∴設D的軌迹解析式為y=kx b

将(0,2)和(-1,3）代入y=kx b可得：

-k b=3,b=2

解得:k=-1,b=2

∴y=-x 2

【法2】

分析：本題也可以根據瓜豆原理性質解題。∵BC與BD的夾角為45°，∴點C運動軌迹與D運動軌迹也為45°，根據這個規律，我們可以很快找解題的突破口。

解析：如圖可知圖1和圖2兩種情況與y軸的夾角都為45°，

∴圖1的斜率k=-1,圖2的斜率k=1

∴圖1中找一個特殊點(0,2),根據點斜式可以求得：y=-x 2

圖2中找一個特殊點(-2,0)，根據點斜式可以求得：y=x 2

小結：

其實我們不難想象，兩題的從動點的軌迹是将主動點的軌迹繞着定點先旋轉，然後在按照定比縮放得到的。旋轉 縮放，這其實才是瓜豆原理的真谛所在。

3.如圖，在反比例函數y=-2/x的圖像上有一個動點A，連接AO并延長交圖像的另一支于點B，在第一象限内有一點C，滿足AC=BC，當點A運動時，點C始終在函數y=k/x的圖像上運動，若tan∠CAB=2，則k的值為_______________

當然，題目已經告訴了C點的運動軌迹是反比例函數了。

即使不告訴我們也可以發現，連接OC之後，O為定點,A為主動點，C為從動點。典型的符合瓜豆原理的結構。所以C點的軌迹也是反比例函數。當然，我們僅僅研究标準形式的反比例函數。

分析：根據C運動軌迹也是反比例函數，并且C應該經過一、三象限。本題隻需要求出k即可。

解析：如圖，構造三垂直模型

∵tan∠CAB=2，∴OC:OA=2

又∵△ADO∽△OCE

∴它們的相似比為1:2

∴1/2OD×DA:1/2OE×EC=1:4

又∵OD×DA=2 OE×EC=k

∴2:k=1:4 ∴k=8

4.如圖雙曲線y=4/x動點A、B兩點關于原點對稱，如圖，∠C=90°，且AC=BC。C點軌迹方程為_________________

分析：根據瓜豆原理可以知道,從動點C的軌迹和主動點A的軌迹一樣，也是反比例函數,并且經過二、四象限，因此我們隻用求出k的值即可。

解析：設反比例函數的解析式為y=k/x

如圖，連接CO,過C作CM⊥x軸，過A作AN⊥x軸.

由此易知：△CMO≌△ANO

∴CM×MO=ON×AN=4

∴k=-4

∴ y= -4/x

點評：

反比例類型的，一般夾角都是90°類型的。這是為什麼呢，大家可以結合函數旋轉 相似原理去分析。

03

總結

求從動點解析式的步驟：

1.确定從動點的軌迹

2.設出從動點軌迹解析式

3.找到從動點的幾個特殊點

4.利用待定系數法求解

注：待定系數也可以根據其他等量關系來确定

更多數學資訊可以關注頭條号：

,

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!

查看全部