人類通常的觀念認為事物必須具有最基本的結構，在此基礎上才能逐漸豐富并變得越來越複雜。因此人類首先發明了最基本的單位“1”，“1”的發明是數學理論的開端。而基本單位要形成複雜結構，必須通過某種操作進行組合，于是人類又發明了“加減乘除”四種運算。通過對數字“1”的無窮無盡的運算人類陸續發現了自然數、負數、整數、奇數、偶數、完美數、素數、代數數、有理數、無理數、超越數、超限數、實數、虛數、複數等一系列數系。

縱觀“數”的發展史，我們會發現數系的發現與人類的認知的發展有很大的關聯性。最初人們隻知道數是一系列從1開始逐漸變大的數，這些數整齊的排列在一維數軸上，間隔相等，數量無窮，這些數就是自然數。數字“0”是在人類使用自然數很久之後才出現的，在古印度，人們發明了九個梵文詞彙代表從1到9的數字，當描述超過9的數時，就進位到新的位置，再次從1開始數起，但是當表示“十”時，1後面就有一個空缺下來的位置，這個位置什麼都沒有，是空的。當時印度正盛行佛教，在佛教大乘空宗的影響下，就引入了梵文Sūnya來表示這個數，Sūnya的意思就是“空”。後來這個數在公元500年左右被傳入古羅馬，但是羅馬教義中認為，上帝創造的數中沒有“0”這個怪物，它的出現是在亵渎上帝，于是羅馬教皇不但殘忍的給引進“0”的學者加了酷刑，還明令禁止了“0”的使用。但是“0”的使用仍舊在當時的數學界秘密進行，它也為數學的發展做出了重要的貢獻。實踐證明，數學中不能缺少“0”，因為“0”不僅是唯一的中性數，也是正數與負數的分界點，是坐标軸的原點，沒有“0”就無法建立坐标系，整個幾何大廈都會坍塌。

分數的出現相對自然，原始人類發現在分配獵物時，如果3個人分2件獵物，每個人就不再能分到整個的獵物？于是分數就産生了。随着社會的發展，人們又發現很多數量具有相反的意義，比如增加和減少、前進和後退、上升和下降。為了表示這樣的量，就産生了負數。正整數、負整數和零，統稱為整數。如果再加上正分數和負分數，就統稱為有理數。

對應有理數的就是無理數了，無理數的發現非常偶然。在公元前500多年的希臘，出現了一個畢達哥拉斯學派，他們認為“數”是萬物的本源，支配整個自然界和人類社會，因此世間一切事物都可歸結為數或數的比例，這是世界之所以美好和諧的源泉。但是有一天，學派中一個叫希帕索斯的學生意外的發現，邊長為1的正方形的對角線的長度不能用任何分數表示。這個數肯定是存在的，可用已有的數無法表示它。這個數的出現動搖了畢達哥拉斯學派的哲學根基，他們為了保住支撐世界的數學大廈不要坍塌，殘忍的将希帕索斯扔進了大海并嚴守秘密。然而真理是藏不住的，人們後來發現越來越多這樣的數，這就是無理數。有理數與無理數統稱為實數。

至此，人們認為所有的數都已經被發現，實數系已經被這些數填滿，再沒有任何遺漏了。 但是事實證明，這隻是人們一廂情願的假設。數學家在研究實數系統内各種數集之間的對應關系時，發現雖然自然數及實數都是無窮多的，但是它們之間卻不能建立起一一對應的聯系，也就是說實數中肯定還存在一種隐形的數，他們是不可列的，後來發現這種數是超越數。目前我們發現的超越數也隻有圓周率π和自然對數的底e以及與它們相關的極少數，無窮多的超越數仍然隐匿在實數的海洋中有待發掘。我們目前隻知道e可以表示成分母有規律變化的連分數，但π卻不能。超越數的規則到底是什麼，超越數是否還可以進一步分類，這些都是數論中仍未解開的謎。

既然實數比自然數更多，那麼實數的無窮就是比自然數更大的無窮。如此看來，自然界存在着不同大小的無窮，如果把這些“無窮大”按照大小排列起來，就構成了超限數系，在這個數系中每個數都是無窮的，但是卻是不同大小的無窮。康托爾一直嘗試證明在自然數與實數的無窮之間有沒有别的無窮存在，這就是著名的連續統假設，若沒有其它無窮存在，則連續統假設為真，反之，則連續統假設為假。令人意想不到的是康托爾的所有努力都必将付諸東流，因為連續統假設在包含選擇公理的系統中既不可能被證明也不可能被證僞，而選擇公理正是我們作為常識性公理而經常默認加以應用的，它的大概意思就是說：“假如有無限堆的蘋果，我們能從每一堆蘋果中選擇一個組成一個新的蘋果堆”。這個看似簡單且肯定正确的公理其實關系着數學的基礎。認可這個公理，連續統假設就不可證明，即我們永遠說不清楚自然數的無窮與實數的無窮之間到底有沒有其它的無窮。不認可這個公理，連續統假設就是錯誤的，即自然數的無窮與實數的無窮之間還有更多層次的無窮，并且這樣的無窮的數量是無窮無盡的。 關于連續統假設的争論一直沒有中斷，首先“選擇公理”到底是不是正确的，它能不能通過更基本的公理證明？其次真正影響連續統假設的到底是不是選擇公理，加入“選擇公理”的“連續統假設”就一定不能得到證明嗎？這些問題後來又有了各種不同的觀點及論證，我個人認為問題的關鍵在可數性，我們通常意義上的無窮是建立在這個基礎之上的，即我們能夠将連續的數轉變為離散的數并一個一個的數出來，這也是我的一個重要觀點：“離散性不是抽象世界及物理世界的基礎屬性，而是觀察者與觀察過程的基礎屬性，被觀察對象的連續性永遠根據觀察者的尺度表現為不同精度的離散性，我們觀察到的物理世界永遠是離散的、量子的，不可能是連續的”，在這樣的基礎之上隻能有一種無窮，對應自然數的無窮，超出這個基礎之上也就超出了我們觀察的範疇，即系統變得連續而不再可數。一個沒有可數性的系統也隻有一種無窮，對應實數的無窮。一個連續統涵蓋的東西超出人類意識理解的範圍之外，連續統沒有可數性，嚴格的說，它沒有所謂“無窮”，隻有淩駕于無窮之上的“超窮”。不可數的東西沒有綿延，隻有永恒，“超窮”已經超越數量的概念，變成一種固有的性質。

複數的發現是偶然的，學過初等數學的人都知道，負數是沒有平方根的，因為任何實數的平方都是正數。但是16世紀意大利米蘭學者卡當在解三次方程時首先使用了負數的平方根，笛卡爾把這種似乎不存在的平方根稱為“虛數”。後來的科學家不斷的對“虛數”的真實性發出質疑和争論，直到高斯發現二維平面的點的坐标可以用實數和虛數一起來表示，才平息了這些争論，平面内點的坐标代表的數即是複數。至此人們終于認識到複數原來對應的是一種二維數集，數系第一次跟維度聯系起來，實數對應一維直線上的點，複數對應二維平面上的點。雖然有人證明了直線上的點與平面上的點能建立一一對應關系，但是我們不能就此認為直線與平面是等價的，這裡的關鍵就在維度。“直線上的點”與“平面上的點”的本質不同是“點與點之間關系”的不同，這些點之間的關系正決定了直線不能替代平面。直線上的點是排列有序的，大數永遠在小數的前面，而平面上的點卻有着比直線上的點更加複雜的關聯性。我們無從比較兩個複數的大小，而隻能比較兩個複數範數的大小（範數為“表示該複數的點”到原點的距離的平方），而具有相同範數的複數恰好組成了一個以原點為圓心的圓，而且所有複數都滿足兩個複數範數的乘積等于兩個複數乘積的範數。也就是說直線與平面隻有點的數量是相同的，但在更高的層面卻有着更加複雜的性質，即在數的規律背後隐藏着更深層次的規律性，而這也正是維度的性質。

複數的發現僅僅是人類認識更高的維度的開始。人們發現，1元數a對應實數，在幾何中它可以描述為一條直線。如果把實數做加減運算，相當于直線左右移動；如果把實數做乘除運算，相當于将直線做伸縮或翻轉（乘以負數為翻轉）。2元數（a bi）對應複數，在幾何中它可以描述為平面中的一個點的坐标，将其加上另一個複數a bi，相當于将該點橫向移動a，再往縱向移動b。而将其乘以一個複數，則是除了将平面移動之外，還将平面進行了旋轉。乘以i相當于将平面逆時針旋轉90度，乘以i再乘以i，相當于将平面轉了半圈。除法是乘法的相反，除以一個複數，是将放大換成縮小，或是反過來将縮小換成放大，然後再反方向旋轉。大部份對實數能做的操作，對複數也都能做，而且使用複數對于解某些方程來說更加方便。

數學家們很快認識到，如果二維的數系能提供我們更大的計算威力，那麼為何不考慮擴展到更高維的數系呢？但是這項看起來簡單的工作卻異常艱難，19世紀的愛爾蘭著名數學家哈密頓在研究擴展複數到三元數a bi cj時遇到了難以逾越的困難。因為三元數的乘法不能滿足“模法則”，而且無法明确的訂出ij與ji的關系和值。三數平方和定理使三元數出現了定義上的問題，而之後ij的值，更為三元數帶來一堆不可解決的問題。或許，三元數在一開始的想法就是錯誤的，也有可能它需要另一種超越實數與虛數之外的數來代表ij。總之三元數就像一個殘次品，沒有任何有意義的性質。但擴展到四維之後的四元數a bi cj dk卻柳暗花明，根據哈密頓記述，他跟妻子在都柏林的皇家運河上散步時突然想到i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1的方程解，哈密頓立刻将此方程刻在附近的布魯穆橋上，一度成為數學界的趣談。如把四元數的集合考慮成多維實數空間的話，四元數就代表着一個四維空間。四元數滿足乘法的結合率但是不滿足交換率，即ab不等于ba，四元數的“加減乘除”運算可以表示三維空間中物體的運動，其中bi、cj、dk用來描述三個維度上的旋轉和縮放，a則用來描述整個三維空間伸縮的程度，也就是說要描述三維空間的物體運動必須上升到四維空間。

數系向高維擴展的腳步并沒有停止，1845年阿瑟·凱萊發表了關于八元數的發現，八元數（a bi cj dk el fm gn ho）是四元數的一個非結合推廣，它不滿足乘法的結合率，即a(bc)不等于(ab)c。再往後呢，人們發現這一系列的新的數系滿足一個簡單的規律，即每一個代數系統的維度都是其前一個的2倍，這樣的代數系統構成了一個序列，稱為凱萊-迪克森構造，所有通過該過程産生的代數系統，即所謂的凱萊-迪克森代數系。實數、複數、四元數、八元數都是凱萊-迪克森構造的代數系統序列中的一個。這四類數都滿足兩個同樣的規律：一是兩個數的範數的乘積等于兩個數乘積的範數；二是這四類數都可以做“加減乘除”四種運算，我們叫這類數為“賦範可除代數”。盡管定義允許“賦範可除代數”是無限維的，但事實上并沒有，僅有的實數域上的賦範可除代數隻有：實數、複數、四元數、八元數。即n個平方和與n個平方和的積可以寫成n個平方和，僅當n為1,2,4或者8時成立。寫成數學表達式就是: (a1^2 a2^2 … an^2)(b1^2 b2^2 … bn^2)= c1^2 c2^2… cn^2 （當且僅當n=1、2、4、8時） 一個有趣的現象是，在凱萊-迪克森構造的代數系統序列中的每一個代數系統比起其前一個系統，除了擁有更高的維度數之外，都将失去前一個系統所擁有的一個特定性質。複數比實數缺少了“共轭是其自身” 的代數性質；四元數比複數缺少了“乘法的交換律”；而八元數比四元數則缺少了“乘法的結合律”；十六元數呢，比起八元數，它保留了一個叫幂結合性的代數性質，卻‬失去了“代數的交錯性”，從而不再是合成代數。

高維數系的擴展讓我們看到了越高的維度具有越多的自由度，但是更高的自由度也正損耗着運算賴以存在的基礎。自由度似乎應該具有某種極限，否則宇宙也許會在物理世界的層次上崩潰。數學抽象世界隻允許這四種數系“賦範可除”正是宇宙自律的表現，也許隻有這些數系能表達我們所在的物理世界，而更高維度的代數隻能表達不可觀測的世界。

回過頭來看一下，我們會發現人類對數的定義與理解都隐含了兩個最基本的原則： 1. “離散性原則”（或者叫量子性），即我們認為1是一個基本單元，是一個基礎量子，它是一個整體。盡管在數學抽象世界中它也是無限可分的，但是在人類的認識中始終認為：分到最後還是有一系列更細微的單元1，因為隻有在這個基礎上，數才是可數的。 2. “平均性原則”，即我們總認為一個數的下一個一定是增加單元量的，比如1後面是2，2後面是3，3後面是4，依次類推，直至無限。不管分數、小數、無理數還是超越數，總是由無數越分越細的單元量組成，這些單元量在同一層次中總是平均分布的，這些層次就是所謂進制。 當第一種原則被打破的時候，我們就有了微積分，微積分體現的是一種連續變化的運算思想，它把無限可分的離散變化過程，重新建立起整體的連續，開創了數學發展史上的革命。那麼有沒有可能打破第二條原則實現數學上新的突破呢？我們可以看到平均性原則造成的結果是進制的确定性，即不論我們采取什麼進制，我們總能看到兩個不同區間的結構是相同的，這種方式與宇宙的随機性及不确定性是矛盾的，使用這種方式不可能進行不确定性計算，它無法很好的表達不确定的量。我們是否可以通過引入概率，發展出一種本質不同的數集，我們可以這樣構造新的自然數集，“基本單元”我們可以表示為一個不确定的随機量，它後面的數為這個“不确定随機量”增加以這個不确定量為總概率的随機量，依次類推。比如随機數m為第一個數，那麼m為基本單元，基本單元具有這樣的性質， 即自身數量的自身相乘與自身相等，數學表示為m^m=m，第二個數為m mx1，第3個數為m mx1 mx2，其中x1、x2...xn為0~m之間的随機數，如果x1=x2=x3=…xn=m=1，則生成自然數集。可以看到，這種數系是比自然數更基本的數系。也許使用它我們就能更準确的描述不确定的量，對它的研究是不是能有一些不尋常的發現，是不是能揭示出我們以前對概率的理解其實是建立在“平均律”根深蒂固的影響之中呢？在這樣的數系中，傳統概率的正态分布、幂律及齊普夫定律的曲線會不會變得平直？是不是因為數的平均化才使得概率分布呈現出曲線呢？在此基礎上，我們甚至可以建立非整數的随機進制，那麼有沒有可能存在無理數或超越數進制的數？這樣的數描述的抽象世界又将是什麼樣子呢？相信有一天人類能夠解開這個謎。

我們再來談談素數，素數是非常特殊的一類數，它們是構成整個自然數列的基礎，它的數學定義是“在一個大于1的自然數中，除了1和此整數自身外，沒法被其它自然數整除的數”。換句話說，隻有兩個正因數（1和自己）的自然數即為素數。一個更淺顯易懂的理解是：“在不破壞蘋果的前提下，要想将一個擁有素數個數的蘋果堆分成相等的n份的話，每堆裡面就隻能有1個蘋果”。從性質上來說1也應該算一個素數，因為它的正因數也隻有1和它自身，隻不過它自身就是1罷了。 素數分布一直是數學界一個棘手的問題，素數就好像生長在自然數列中的一堆亂草，雖然逐漸稀疏，直到無限，但似乎沒有什麼規律可言。關于素數分布最著名的定理莫過于家喻戶曉的歌德巴赫猜想了，它是這樣描述的：“任何一個大于2的偶數都是兩個素數之和”，意思就是說：“假設有一個任意數量的蘋果堆，在不破壞蘋果的前提下，隻要能把它平分成2個數量一樣的蘋果堆，就必然能把它分成2個擁有素數個數的蘋果堆”。歌德巴赫猜想一直到現在也沒有得到完整的證明，目前為止最接近的證明是中國數學家陳景潤先生給出的，從此以後就步履維艱。現在我們知道，“歌德巴赫猜想”等價于“素數對稱定律”，即“對于任何大于3的正整數m，都至少有一小于m的正整數n存在，使m n、m-n皆為素數”，簡單的說就是：“在任何一個整數前後相同的距離上，總有這麼一前一後兩個數是素數”。這個定律展現了素數分布的内禀對稱性，這種對稱是一種結構對稱，它貫穿整個素數系統。今天，數學家知道素數的分布與黎曼猜想息息相關，在調和分析的意義下，黎曼ζ函數的零點可視為素數分布的諧波。

黎曼ζ函數在臨界線Re(s) = 1/2上的實部（紅色）和虛部（藍色） 但不幸的是，黎曼猜想比歌德巴赫猜想更加難以攻克，它是比歌德巴赫猜想更為基本的問題，它關系到數學界很多未解難題的答案。著名的數學家希爾伯特曾說，如果他在沉睡1000年後醒來，他問的第一個問題便是：黎曼猜想是否已經得到證明？到目前為止，90多歲的英國著名數學家邁克爾·阿蒂亞宣稱的自己對黎曼猜想的證明，在數學界仍然不太明朗。 素數分布也許正體現了抽象世界的兩條最基本的法則：随機性與對稱性。素數的分布是一種随機對稱，也許它根本不可能用普通的代數公式表達。在内禀對稱的前提下，素數分布總是随機的和無規則的。随機與對稱即是矛盾，又是一種有機的組合，素數就是這個有機組合的整體。對稱性與随機性在素數結構内部互相争鬥，誰也戰勝不了誰，整體的素數結構就在這種抗争與平衡中被永恒的确定下來。素數集的内部對稱性及自相似性一定隐含着更微妙的叠代及更複雜的維度，也許它注定無法定量描述而隻能定性描述。

在諸多的數中，還有兩個數是非常特殊的，它們是圓周率π、自然對數的底數e，再加上i、1、0，就組成了5個關乎數學基礎的組合，幾乎所有重要的數學理論及物理定律都離不開它們。自然對數的底數 e＝1＋1/1!＋1/2!＋1/3!＋…，它的值約等于2.718281828…，它是一個超越數。因為以e為底數，很多式子都能得到簡化，用它是最“自然”的，所以又叫它“自然對數”，塑造自然界物質形态的的渦形與螺線形都與e息息相關。e也可以用一個極限得出，即(1 1/x)^x，不管x趨向于正無窮大還是趨向于負無窮大，它都等于2.71828……，這也體現了大自然内禀的對稱及物極必反的道理。圓周率π是圓周長和直徑的比值，約等于3.141592654…..，它也是超越數。π可以嚴格地定義為滿足sin(x) = 0的最小正實數x，它跟圓密切相關，而圓也是自然界最節省資源的精巧結構，在有限的周長下，圓圍成的面積總是最大的。i是虛數的基本單位，它是1在其他維度的鏡像，有多少維度，就有多少個不同類型的i，i代表着對“旋轉”的度量。1是自然數的基本單位，實數集中所有的數都通過1的擴展來表達，1代表着對“延伸”的度量。而0是無量之量，它無形無象，又包羅萬象。這些最簡單、最直觀的數中蘊含着最深刻的規律， 0、1 、i 、π、e這5個數概括了整個世界的空無、延伸、旋轉、和諧圓通以及螺旋上升。偉大的數學家歐拉發現了它們之間的關系，數學家們評價它是“上帝創造的公式”：

它實際上是e^ix=cosx isinx當x=π時的特殊情況，這個公式也揭示了三角函數與指數函數之間的關系。歐拉的公式使我們對抽象世界有了新的認識，它表明在抽象世界中不同維度看似不相關的量之間其實存在着緊密的聯系及變換關系。虛數i*i=-1，說明了在不同維度上的運算有着完全不同的意義，數軸上的運算對應着拉伸和收縮，二維的運算則包含着旋轉，i*i是将單位量逆時針90度旋轉2次，運算結果就正好等于-1。我們可以嘗試這樣理解歐拉公式，将x軸上坐标為（e，0）的點繞着原點在二維空間以90度角螺旋盤轉π次，坐标就變成了（-1，0）。

關于數的擴展也許人類還遠沒有走到終點，但是人們在對數的研究中卻發現了比數更加重要的東西，這就是結構。數隻是某種表像，隐藏在其背後的是抽象世界的内禀結構，這些結構才是數的本質。人類由此實現了跨越，開始轉向對基本結構的研究，也就是“群”。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!