李特爾伍德（J. E. Littlewood）在《Littlewood數學随筆集》中提出這樣的問題：一篇數學博士論文原則上可以有多短？

實際上，李特爾伍德問道：“兩行學位論文能否應得到獎學金，”但是我以不那麼面向

劍橋的方式改述了該問題。——德國波恩馬克斯普朗克研究所的察吉爾（D. Zagier）

并給出精确的答案：“兩句話。”

為了證明這個斷言，他首先指出兩句話是下界：

因為數學中的任何論點都至少必須包含定理的表述（一句話）及其的證明（一句話）。

緊接着，他從理論上（盡管在實際中它大概永遠不可能）說明了這個下界可以取得，隻利用那一時期的數學家所熟悉的結果和觀念，皮卡（Picard）的“小”定理——取值避開0與1的整函數是常數——的證明就隻要一句話。

然而，李特爾伍德忽略了這樣的事實，人們可以通過一句完整的話來縮短論文，即可以将定理的表述作為标題而不是文章的主體（例如，見【2】） 。

此外，他對上界的舉例證明也太過複雜，因為有一個比皮卡定理更為著名和簡單的定理可以去證明。而且，毫無疑問，它是如此重要，以至于因此而授予作者博士學位完全夠格。

所以，我們在此提出李特爾伍德定理的下述修正和改進的版本。

定理：最短的數學博士論文隻有一句話。

證明：一句話顯然是一個下界，因為數學中的一個論點必須包含一個證明。我們發現，從理論上說，這個下界可以通過以下可能的博士論文的顯式構造而得到。

有界整函數必為常數

約瑟夫· 劉維爾（Joseph Liouville）

1844 年提交給巴黎大學數學系，以部分滿足自然哲學博士學位授予要求

若是有界的整函數，則根據柯西（Cauchy）先生的定理，對每個複數a，有

所以，是常數。

參考文獻

【1】. J. E. Littlewood, A Mathematician’s Miscellany. Methuen & Co., London, 1953.有

中譯本《Littlewood數學随筆集》，高等教育出版社，2014年出版。

【2】. D. Zagier, A one-sentence proof that every prime (mod 4) is a sum of two squares, Amer. Math. Monthly 97 (1990) 144.

作者：察吉爾(D. Zagier)

翻譯：崔繼峰

本文譯自Amer. Math. Monthly 121 (2014), 618. 原文标題：“A refinement of a theorem of J. E. Littlewood”.

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