科學的目标是發現新的自然現象，理解其中的科學規律，進而改造自然界和人類社會。數學是科學研究的重要工具，通常采用由近及遠的方法來研究問題，微積分就是最著名的一個例子。

研究問題總是要用到函數的概念：某個待觀察量（因變量）如何随着受控變量（自變量）而改變，

附近的幂級數的形式：

其中，

如果自變量 x 選為時間t，因變量 y 為物體在特定方向上移動的距離s，那麼，s(t)就是物體的移動軌迹。确定了物體在t=0時刻的位置

函數在某個位置附近的展開方式，沒有什麼特别的理由一定是x

的幂級數——當然，這樣做确實方便，但是隻要你願意，完全可以選擇其他方式，比如說，

的幂級數。

在描述運動軌迹的時候，最簡單的近似是把它當作一段直線（隻有一階導數不為零，對應于勻速直線運動），再進一步就是把它當作一段抛物線（二階導數也不為零，對應于自由落體運動）。還有一種常見的處理方式是把一段軌迹當作圓弧的一部分，因為我們對勻速圓周運動非常熟悉：力的作用方向與物體的運動方向垂直，其大小依賴于物體的質量m

、運動速度v和圓的半徑r，

選定一段軌迹（為了簡單起見，假定它位于一個平面上），如何得到它對應的圓軌道呢？隻需要确定其一階導數和二階導數就可以了。

考慮一個圓

。為了消去上述等式裡的y（因為半徑R不依賴于y），可以由得到，

，與

對于任意軌迹上的某一點，求得該點的一階導數和二階導數，就可以得到那裡的曲率圓的半徑（還可以得到曲率圓的圓心位置）。如果把平面軌迹上的坐标x和y都視為時間t的函數，上述公式還可以表達為

，或者說，

，其中，變量上的點表示該變量對時間求微分，v˙ 就是加速度。上面這個式子對應于勻速圓周運動的向心力公式。舒幼生《力學（物理類）》第一章例7是反着來的，采用向心力公式來得到軌迹的曲率圓及其曲率半徑。

用抛物線或者曲率圓來近似某一段軌迹，完全是因為中學物理已經讓我們熟悉了自由落體運動和勻速圓周運動。那麼，自然就會産生一個問題：抛物線和圓到底有多大的差别？

從形式上看，二者的差别很大：圓的軌迹方程是

（其中，r是圓的半徑），抛物線的軌迹方程是

（其中，p/2是抛物線的焦距）；圓占據了有限的空間，而抛物線延伸到無窮遠處。但是，二者都是圓錐曲線，更重要的是，在抛物線的頂點附近，二者的差别是很小的。

根據曲率圓的公式可知，在抛物線的頂點處，曲率圓的半徑是p（因為在x=0處，y′=0，y”=1/p），那裡的曲率圓就是半徑r=p的圓。在距離原點p/2的位置，這兩條曲線的差别大緻是1%，很小的一個數值。

圓和抛物線的表達式差别很大，但是，在一定範圍内，二者的實際差别可以非常小。認識到這一點，是設計和制造中國“天眼”的關鍵。

位于貴州省平塘縣的“天眼”工程（500米口徑球面射電望遠鏡，FAST）

“天眼”是由中國科學院國家天文台主導建設，具有我國自主知識産權、世界最大單口徑、最靈敏的射電望遠鏡。綜合性能是著名的射電望遠鏡阿雷西博的十倍。

“天眼”是半徑300米的球面的一部分，其基本技術指标包括：球反射面的口徑為500米；有效照明口徑300米；焦比（焦距與口徑的比值）為0.467；天空覆蓋的天頂角為40°；工作頻率70MHz－3GHz；靈敏度(L波段)為2000。

我們簡單地分析一下這些指标。

“天眼”本身是個球面，在工作的時候，需要調整為旋轉抛物面，因為旋轉抛物面可以把無線電波彙聚到焦點上，而（太大的）球面做不到。“天眼”的口徑是500米，而有效照明口徑隻有300米，主要出于兩個因素的考慮：有效口徑越大，收集的效率越高（不是跟面積成正比，而是跟面積的平方成正比，因為波的幹涉效應），但是，球面與旋轉抛物面的差别也越大，調整起來越困難；有效口徑越小，覆蓋的天空越大，能夠觀測到的範圍也就越大。300米有效口徑對應于150米半徑的圓，其圓心到半徑為300米的“天眼”球心的最大水平距離是100米，所以，對應的天空角度就是θ=arctan1/3，大約是 18.4°，乘以2就對應着天空覆蓋的天頂角40°。

300米口徑的球面和旋轉抛物面的差别有多大呢？因為這兩者都具有旋轉對稱性，我們隻需要考慮300米口徑的圓和抛物線就可以了，二者在原點處的曲率圓半徑均為300米。為了簡單起見，取300米為1，二者的曲線方程為

其中，x 的取值範圍是[-0.5, 0.5]。在x=0處，二者相等，在x=0.5處，二者的差别是0.009（抛物線是0.1250；圓是0.1340，用近似公式則是0.1328），也就是1米多些的差别（150×0.09=1.35）。

這個差别不算很大，但是還可以搞得更好一些：重新選擇一個抛物線，使之經過圓在邊界處x=0.5的點，這個新的抛物線就是

這還不是最好的近似。考慮抛物線

其實，這就是計算方法裡“函數的最佳逼近”問題：用二次曲線逼近一段圓弧。現在這個例子太簡單了，不足以說明“最佳逼近”的威力，下次找個合适的例子再詳細說說吧。

當然，0.3米的差别，對于射頻信号的檢測還是有些大了。天眼的工作頻率是70MHz－3GHz，對應的最短波長是0.1米。為了高效地探測，工作面的與旋轉抛物面的差别必須遠小于波長，達到毫米的量級。這是通過“天眼”項目自主設計的索網結構來實現的：主索索段控制精度達到1毫米以内，主索節點的位置精度達到5毫米，而索構件疲勞強度不低于500MPa。

南仁東（1945—2017）；“天眼”與阿雷西博天文台對比。

“天眼”由主動反射面系統、饋源支撐系統、測量與控制系統、接收機與終端及觀測基地等幾大部分構成。我國天文學家南仁東于1994年提出構想，曆時22年建成，于2016年9月25日落成啟用。截至2018年9月12日，500米口徑球面射電望遠鏡已發現59顆優質的脈沖星候選體，其中有44顆已被确認為新發現的脈沖星。

今後，“天眼”一定能夠發揮更大的作用，得到更多更重要的成果。同時，其他領域工作的中國科技工作者也一定能夠充分發揮自己的聰明才智，取得更多更好的成績。

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