向量的基本概念

線性代數是數學的一個分支，最最簡單的理解，它研究的就是向量（及其衍生概念）。

但是，什麼是向量呢？向量（vector）是線性代數的基本概念，然而，“什麼是向量”，卻是一個難以回答的問題。

一般來說，什麼是向量，可以從兩個方面來理解。一個是從數字列表的角度，一個是從幾何學的角度。

所謂數字列表，就是把向量看作一組有序的數字，比如“1、2、3”，隻不過它的表現形式，稍微有點講究，如式（1-1）所示。

（1-1）

式（1-1）是向量的标準表達方式，以下為了行文方便，有時候也使用“[1,2,3]T”的形式表達——其中 T 是“Transpose（轉置）”的縮寫，簡單理解，就是把“橫”着的“[1,2,3]”給“豎”起來，形如式（1-1）所示。

向量是一組有序數字，它裡面的每一個數字，具體代表什麼含義，并不需要特别定義，一切取決于應用場景。比如我們可以用(x1,x2)分别指代蘋果的質量（重量，kg）和價格（元/kg），像3kg蘋果，每kg蘋果價格為5元，就可以表示為(3,5)，或者表達為标準形式，如式（1-2）所示。

（1-2）

把向量理解為一組有序數字，簡單直接，但是有時候顯得不夠“形象”，更不夠“深刻”。數學上，一般從幾何學出發來理解向量。

在數學中，向量的經典解釋是：具有大小（magnitude）和方向的量（向量也稱為歐幾裡得向量、幾何向量、矢量）。也正是因為此，向量也被形象化地表示為帶箭頭的線段，如圖1-1所示。

圖1-１ 向量：帶箭頭的線段

通過圖1-1可以看到，帶箭頭的線段确實很形象，但是細究起來，就會發現問題。

第1個問題，向量的大小（我們暫且認為是線段的長度），該如何度量？是拿個尺子去測量，量出它是3厘米、5厘米？還是抽象地表達：3、5？

第2個問題，方向是相對于誰的方向？或者說是相對于誰的角度？如圖1-2所示。

圖1-２ 向量的角度

通過圖1-2可以看到，向量 a 相對于 b 和 c 的方向，顯然是不同的。

為了解決這兩個問題，首先映入腦海的可能是坐标系。我們以平面直角坐标系為例，再來看看向量，如圖1-3所示。

圖1-３ 平面直角坐标系中的向量

圖1-3中，向量 a 也就是 OA，其 A 的坐标為(4,3)，所以我們可以知道：

（1）向量 a 的長度是5

（1）向量 a 相對于 x 軸的角度是 arctan(3/4)

如此一來，問題似乎解決了。但是，這隻是夢魇的開始，因為就算以平面直角坐标系入手，也會引發一系列的問題，如圖1-4所示。

圖1-４ 多個坐标系

通過圖1-4可以看到，向量 a 保持不變，但是坐标系發生了變化，此時，固然向量 a 的長度保持不變，但是向量 a 相對于 x 軸的角度卻紛呈各異。

而且圖1-4-C的坐标系，也不是直角坐标系，那麼這樣的坐标系能夠承載向量的表達嗎？這個問題還不算是尖銳的，更尖銳的問題是：向量 a 屬于哪個平面？如圖1-5所示。

圖1-５ 向量所屬的平面

通過圖1-5可以看到，向量 a 屬于平面 A、B、C。實際上，向量 a 不僅屬于這3個平面，而是屬于無窮多個平面。

既然向量屬于無窮個平面，那麼以其中一個平面的坐标系來表達向量，是否能反映向量的本質呢？抑或到底需要多少個平面的坐标系才能表達出向量的本質？

所以說，即使是平面（直角）坐标系表達向量這樣最簡單的場景，都有太多的疑問，更不要說是三維立體坐标系了，如圖1-6所示。

圖1-６ 三維空間坐标系中的向量

圖1-6中，向量 a 的坐标是(xa,ya,za)，用标準向量的形式表達為式(1-3)：

（1-3）

同樣，三維空間坐标系中也存在平面坐标系中的問題，難以回答，而且更加觸及靈魂：向量 a 屬于多少個三維立體空間？或者說，三維立體空間有無窮多個嗎？

在三維空間中，二維平面有無窮多個，這符合我們的直觀認識。隻有1個三維空間，也符合我們的直觀認識——小到微塵，大到宇宙，它們都屬于同一個三維空間——最起碼我們的直觀是這麼認為的。隻是還有另外一個三維空間嗎？有無窮多個三維空間嗎？

無窮多個三維空間，則意味着存在四維空間。那麼問題仍然是一樣的：存在無窮多個四維空間嗎？

這樣的問題一直問下去：存在無窮維空間嗎？

問題深入骨髓，觸及靈魂，但是似乎沒有答案。但是，當我們從這個問題跳出來時，應該會認識到：幾何并不是向量的本元，它隻是向量的一個深刻的映射。

也許，更加深刻地，

幾何的本元是向量！

既然幾何并不是向量的本元，那麼我們還是從向量最本色的定義出發，把向量看作是一組有序的數字。圍繞着這個概念，我們給出向量的如下定義。

定義1.1（向量的元素）

向量 v 是一組有序數字，其中每一個數字定義為向量的元素，記作 vi，其中，i 表示該元素在向量中的序号。第一個元素的需要記為1，以此類推，顯然 1 <= i <= dim v。dim v 表示向量的維數，參見定義1.2。

定義1.2（向量的維數）

向量 v 的維數指的是向量元素的個數，記作：dim v。

定義1.3（向量的相等）

如果兩個向量 u、v 相等，則記作 u = v。u 和 v 相等，指的是：

（1）dim u = dim v

（2）ui = vi, 1 <= i <= dim u

定義1.4（向量的加法）

三個向量 u、v、w，向量 u 和 v 的加法記作：w = u v，其中：

（1）dim w = dim u = dim v

（2）wi = ui vi, 1 <= i <= dim u

定義1.5（标量）

标量（scalar），亦稱“無向量”，它是跟“向量”相對應的一個概念。向量有大小和方向，而标量隻有大小。最簡單最直接的理解，标量就是單純一個數字。

定義1.6（向量的标量乘法）

向量 u、v，标量 c，向量 v 與标量 c 的乘法記作：u = cv，其中：

（1）dim u = dim v

（2）ui = cvi, 1 <= i <= dim u

定義1.7（向量的線性相關）

向量 u、v，如果滿足如下條件，則稱 u 和 v 線性相關：

（1）dim u = dim v

（2）ui = kvi, 1 <= i <= dim u

（3）k 是标量

定義1.8（零向量/0向量）

零向量 0 指的是：

（1）dim 0 > 0，也就是 0 的維數可以是任意正整數

（2）0i = 0, 1 <= i <= dim 0

顯然，0 向量與任意向量都線性相關

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