斐波那契恒等式和秦九韶三斜求積公式是東西方數學的研究成果，兩位同時期的數學家遠隔萬裡沒有交集，恒等式和秦九韶公式看上去風馬牛不相及。2020年，中學數學雜志發表的一篇文章揭示了二者之間産生的奇妙聯系，讀來引人入勝，如沐春風。

本文主要介紹中學老師曹嘉興的研究成果。下面的圖片是我抄錄的全文，之間穿插幾條我的注釋，幫助大家更好地閱讀和理解。

原文标題：秦九韶公式的兩個奇妙證明

注釋1

把(3)式展開

p²-2px x² y²-2qy q²=c²

p² q² x² y²-2(px qy)=c²

a² b²-2(px qy)=c²

注釋2

py-½xy-½pq-½(p-x)(y-q)

=py-½xy-½pq-½(py-pq-xy qx)

=½(2py-xy-pq-py pq xy-qx)

=½(py-qx)

注釋3

a² b²-c²=x² y² p² q²-(q x)²

=x² y² p² q²-q²-2qx-x²

=p² y²-2qx

∵p=y ∴p² y²=py py=2py

注釋4

矩形面積等于三角形面積的兩倍，所以得到④式。

總結：看完原文，衷心的贊歎不已，perfect，無懈可擊。好比看了一場精彩的演出，神奇又令人回味無窮，感到不可思議。

曹老師獨創的兩個證明構思巧妙，用輔助圖形搭橋，嚴謹的推理環環相扣，層層推進，用斐波那契恒等式證明了秦九韶公式，具有無可辯駁的邏輯力量。

這兩個證法都超越了輔助線，而是使用了輔助圖形協助論證。輔助元素可以是一個點，或者是一條線，也可能是一個圖形。使用矩形作輔助圖形的目的，就是構造直角三角形，用小學數學的三角形面積公式和勾股定理來證明秦九韶公式。用輔助圖形架橋，使用了面積方法，完成了漂亮的證明。我們也體會到了面積法的妙用。

根據吳文俊先生的古證複原成果，秦九韶失傳的原證應該是包含了三角形面積公式，勾股定理，折竹求高公式的綜合體。

斐波那契(Fibonacci，1170-1250)是意大利數學家，他早年随父在北非師從阿拉伯人學習數學，後遊曆地中海沿岸諸國，1202年回到意大利故鄉比薩，用拉丁文寫作其代表作《算盤書》。

《算盤書》中出現了和《孫子算經》中一樣的同餘式問題。有學者認為，一種可能是通過絲綢之路由阿拉伯人傳授了這一算法，也可能是偶然巧合。比利時學者李倍始在《十三世紀中國數學》書中認為斐波那契沒有對其解法作理論或一般解釋，因此他的解題水平并沒有超過《孫子算經》。

《數學名題詞典》截圖

上圖是《算盤書》中的一個比例問題。解題關鍵是用歸一法求出每人每天的植樹株數。

《算盤書》系統地介紹了印度計數法和阿拉伯與希臘的數學成就，影響并改變了當時歐洲的數學面貌。書中有斐波那契恒等式，以及著名的斐波那契數列。

(ac-bd)² (bc ad)²=(a² b²)(c² d²)......①

(ac bd)² (bc-ad)²=(a² b²)(c² d²)......②

上面兩個等式稱為斐波那契恒等式。第一次見面感覺陌生，那就舉個例子讓大家熟悉一下。

請看下圖，△ABC是直角三角形，D是斜邊AB上的動點。假設D是直角三角形ABC的外接圓圓心，CE是斜邊上的高，a，b，c，d都是正數，含義如圖所示。

根據勾股定理，斜邊AB=10，CD是外接圓的半徑=5，高CE=6×8÷10=4.8，根據射影定理，AE=3.6，BE=6.4，所以DE=5-3.6=1.4。

現在我們把a，b，c，d這四個數代入斐波那契恒等式，看看兩邊是否相等。

先算左邊，代入數據得

(6×4.8-8×1.4)² (8×4.8 6×1.4)²

=(28.8-11.2)² (38.4 8.4)²

=17.6² 46.8²

=309.76 2190.24

=2500

再算右邊，代入數據得

(6² 8²)(4.8² 1.4²)

=(36 64)(23.04 1.96)

=100×25

=2500

驗證完畢，隻要你計算過程不出錯，恒等式當然成立。

斐波那契恒等式的正确性隻用初中數學知識也能證明。

(ac-bd)² (bc ad)²=(a² b²)(c² d²)......①

(ac bd)² (bc-ad)²=(a² b²)(c² d²)......②

①式左邊展開得

(ac-bd)² (bc ad)²

=a²c²-2abcd b²d² b²c² 2abcd a²d²

=a²c² b²d² b²c² a²d²

②式左邊展開得

(ac bd)² (bc-ad)²

=a²c² 2abcd b²d² b²c²-2abcd a²d²

=a²c² b²d² b²c² a²d²

①式和②式的右邊展開得

(a² b²)(c² d²)=a²c² a²d² b²c² b²d²

所以，得到結論

①式和②式這兩個斐波那契恒等式成立。

斐波那契恒等式和代數，幾何，數論等幾個分支的定理都有聯系，這是數學是一門關系學的具體體現之一。

科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。

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