​撰文 | 楊浩

知乎上有一個數學問題引發了大家的讨論——“如何嚴謹地證明0.999…=1？關于此問題的回答也是五花八門，各抒己見。這個問題的有趣之處在于不同數學水平的人會有不同的理解。

為了後面能夠把這個問題讨論清楚，我們先整理了幾個知乎上的高人氣“抖聰明”答案。

答案一：

根據人教版小學四年級下冊教材：“如何比較小數的大小？先比較整數部分，整數部分越大，小數越大；整數部分相同的，再比較小數部分……”，顯然 " 0.999…＜1 "，二者并不相等。

答案二：

同樣根據小學分數與小數的互化，

有1/3=0.333… ，

于是1/3×3=0.333…×3 ，

即1=0.999^ 。

答案三：利用初中代數與方程的思想，

設 x=0.999…，

則 10x=0.999…，

于是10x-x=9x ，9x=9，x=1。

答案四：利用高中等比數列求和與極限的思想描述 0.999… ：

上述幾種方法分别代表了小學、初中、高中數學知識水平，在一定的知識能力範圍内，這些證明似乎都正确。

那麼，到底哪個才是足夠嚴謹的證明？

0.999… 與 1 是不是真的相等？這就要追溯到幾百年來數學家們對無窮小量的探讨之中。

無窮小量的産生來源于17世紀微積分的創立。微積分的誕生首先是為了解決一系列自然科學的問題（求瞬時變化率、求曲線的切線等等），牛頓（Isaac Newton, 1643-1727）和萊布尼茲（ Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716）先後獨立地建立了微積分理論體系。

1669年牛頓在《運用無窮多項方程的分析學》一書中初次提出了他的想法（這本書直到1711年才出版）。

萊布尼茲也推出了同樣的結果。

牛頓和萊布尼茲都使用了無窮小的方法，盡管後來微積分迅速普及并且被廣泛地使用，但也掩蓋不了這種方法在邏輯上的不嚴密。

由于無窮小量（無論是牛頓的o ，還是萊布尼茲的dx ）沒有被明确的定義，很快，微積分就迎來了一系列質疑的聲音——無窮小量和 0 到底有怎樣的區别？推理過程中為什麼能夠直接舍棄無窮小量，而無窮小量的和卻可以是有限的量？

針對這些疑問，牛頓和萊布尼茲意識到微積分存在的問題，也各自作出了回應。

1671年，牛頓闡述：變量是由點、線、面的連續運動産生的。1676年，他又說，流數（變量的變化率）是增量的最初比。

萊布尼茲在1690年寫給沃利斯的信中說：“考慮這樣一種無窮小量将是有用的，當尋找他們的比時，不把它們當做是零，但是隻要它們和無法相比的大量一起出現，就把它們舍棄……”

可以看出，他們試圖把自己的理論說清楚，但無窮小量的确切含義，仍然十分模糊。

18世紀初，微積分的不嚴密性招緻了教會的攻擊。由于害怕機械論和決定論對宗教的威脅，英國大主教貝克萊于1734年發表《分析學者》一文抨擊牛頓是 “依靠雙重的錯誤得到了雖然不科學卻是正确的結果”。

數學家們當然不能容忍這種對數學的輕蔑，他們立即加入了争論，并且繼續嘗試給微積分提供嚴密的基礎，雖然大部分都失敗了，但我們不能否認的是，在得到正确的結果之前，有一些數學家的貢獻是不可忽視的。

沃利斯在《無窮的算術》中，提出了函數極限的概念，産生了新思想的萌芽。

歐拉則是把微積分從幾何中解放出來，而使它建立在算術和代數的基礎上，為基于實數系統的微積分的根本論證開辟了道路。

進而，導數、積分、收斂性、無窮級數等概念一一被嚴格确定下來，關于無窮小量的長達兩個多世紀的争論（也稱第二次數學危機）終于結束。

但這并不是基礎研究的終點，所有相關的研究工作都是以承認實數系為先決條件的，而實數系的邏輯基礎到19世紀後半葉才逐漸建立起來。實數系的建立者是康托爾（同時建立了集合論），在有理數系的基礎上，他引入了一個新的數類——實數。

如今，實數理論進一步發展為實變函數論，已經成為微積分的一個重要分支，實變函數也是數學專業大學生的主要課程之一。

現在我們可以發現 0.999…＜1 的問題，本質上是數學基礎的問題，它反映了實數的稠密性和完備性。

換句話說，如果這兩個數不相等，那麼實數理論，以及建立在實數系基礎之上的微積分的大廈将會崩塌。在高中階段，我們也會學習簡單的微積分知識，比如導數和定積分的運算，在數學中，我們可以運用導數解決函數的最值問題；在物理中，可以根據位移函數求瞬時速度和加速度，也可以解決簡單的天體物理運動問題。

因此，高中數學課本中對導數的解釋其實是有些模糊不清的，事實上，到大學數學分析中，我們才能學到函數的連續性、導數、積分最明确、嚴謹的定義。數學是最講邏輯的學科，數學家們花了近3個世紀，才把微積分的理論從建立到完善，甚至直到今天，還有一些懸而未決的問題。相信大家看完文章後，也會對微積分、對數學有全新的認識，直觀感受有時也會導緻錯誤的結果。我們以後在思考問題的過程中，也要争取像數學家們一樣，力求嚴謹，不能似是而非。

本文經授權轉載自微信公衆号“新東方智慧學堂”。原标題為《0.999...到底等不等于1？400多個知乎回答，都不算對》。

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