來源：公衆号數學經緯網

作者：林木

物理學家、航空管制員以及社會學家都有一個共同的東西：向量。它們到底是什麼？又為什麼這麼重要？為了回答這個問題，首先我們需要理解标量。标量是一個有大小的量。它告訴我們一個東西的多少，你和長椅之間的距離、杯子裡飲料的體積和溫度都由标量來描述。

向量也有大小，此外還有一個另外的信息：方向。要從家走到商場，你得知道它離你多遠，還要知道要走的方向，這不是距離，而是位移。那麼我們如何來表示向量呢？回顧我們日常生活中的描述，例如：向東走200米再向北走300米；或者面向東方，向前走200米再向左走300米。

可以看出來，這兩種描述都需要首先指定兩個方向作為基準，然後再給出這兩個方向上的距離。那麼把這兩個距離寫在一塊兒湊成一個數對，就可以表示這個向量。在平面上，我們指定了兩個基準方向，而在空間中我們還需要增加一個向上或者向下的基準方向，用三元數組表示。雖然這個表示的方法和點的坐标很像，但要表示的意思是不同的。坐标表示的是一個固定的點，如果原點變了，坐标的數值就會變；而向量隻是代表一個有方向的距離，沒有确定的起點和終點，坐标原點的變化對于向量的表示沒有影響。

對于自然科學中天生帶方向和大小的量自然可以用向量來表示，那社會科學有為什麼會需要向量呢？其實這是借用了基準方向的概念。比如評判城市之間的差異，需要從人口、經濟、教育和科技等許多方面來考慮。這些方面都可以作為評判的指标，而且這些标準又各不相關。那麼我們就可以把這些指标都當作基準，再賦予具體的數值，就可以用來描述一個城市的情況。我們同樣把這個量叫做向量，隻是它的基準方向比較多。

有沒有比矢量表達更多信息的量呢？當然，這就是張量。向量是有一個方向的量，張量就是有兩個甚至更多“方向”的量。比如說我們在擰像床單這樣比較長的衣物的時候，既要有一個擰的力用來擰幹又要有一個拉力來保證衣物不會扭在一起。

在擰衣服這個動作中這兩個力應該是當作一個整體來看，而且為了維持擰的狀态這樣的力在衣物的各個地方都是存在的，我們把它叫做應力。但是應力的兩個部分又是相互獨立的，我既可以撤掉拉力隻保持擰的力又可以撤掉擰的力而隻保持拉力，所以可以說應力是有兩個“方向”的力。對于物體中一個點的應力，我們通過過該點的三個互相垂直的面來表示：每個面上既有可能受到垂直面的正應力，比如壓力和拉力；又有可能受到平行于面的切應力，比如剪刀的剪力。

具體而言就是下面的矩陣，其中每一行對應一個平面，σx、σy和σz是正應力，其餘τxy等是切應力。

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