#頭條創作挑戰賽#

2022年新高考數學全國卷II的立體幾何單選題，是一道關于三棱台和球體的問題：

已知正三棱台的高為1，上下底面的邊長分别為3√3和4√3, 其頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為

A. 100π； B. 128π; C. 144π； D. 192π.

分析：如果忽略數據，這裡其實是有兩種情形的。一種情形是三棱台的兩個底面分布在球心的上下兩側，如下圖：

另一種是兩個底面都在球心的上方。

在沒有得到答案之前，無法直接明确到底屬于哪一種情形。因此我們先分析第一種情形。觀察圖形，可以發現，這道題可以利用OM OM'等于三棱台的高來解決，所以需要求得CM，和C'M'，就可以在OM和OM'各自所在的直角三角形中，運用勾股定理，把它們都表示出來。從而列得一個關于球體半徑R的方程。解方程，得到R的值，自然能求球體的表面積了。

為此老黃把三棱台的上底面放在平面上分析。如下圖：

圖中點M是正三角形ABC的中心，CM就等于正三角形邊長除以根号3，這個關系可以讓你更快速地解決問題，求得CM=3.

我們不需要從下底面求C'M'，隻需要利用正三角形相似的原理，就可以求得C'M'等于相似比乘以CM，結果等于4。

現在就可以在直角三角形OC'M'中運用勾股定理，用含半徑R的式子表示OM'了，同理也可以表示出OM。

列它們的和等于三棱台的高，也就是等于1，得到一個關于R的方程。結合球體的表面積公式。以及四個選項中，可以發現最小的R^2在A選項，等于25，但把R^2等于25代入上式，結果不等于1，而是等于7，所以這種情形是不正确的。

隻好換成第二種情形，兩個底面都在球心O的上方來探究。

此時OM-OM'才等于三棱台的高。結合球體的表面積公式，可以不必解上面的方程，直接檢驗四個選項，就可以知道，A選項的确是正确的。事實上BCD選項都不需要檢驗。不過都檢驗一下，會比較妥當。

現在回過頭來看看，第一種情形真的解不出答案來嗎？我們對方程兩邊同時平方，然後移項合并同類式，使等式的一側隻有一個根式，再同時平方，化簡，也可求得，R^2=25。

最後利用球體的平面積公式，也是可以得到答案的。

無疑，R^2=25是後面這個方程的增根，然而在這種問題中，增根往往就是實際問題的答案，這真是一件非常神奇的事情。因此如果不是解答題，隻是選擇或填空，我們可能并不需要分成兩種情形去探究。就算選錯了情形，得到的增根也會是實際問題的答案。這是為什麼，你能明白其中的道理嗎？

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