在上一篇文章---"兩個重要統計量——均值和比率“裡，我們介紹了用樣本均值`x估計未知的總體均值`a，這個`x是一個數（而不是一個範圍），因此這種形式的估計叫作點估計。

另外，我們還介紹了方差和标準差，我們認識到用`x估計`a是有誤差的，而标準差從平均的意義上反映了誤差幅度，因此，如果我們以标準差作為衡量散布度的一個單位，把未知的總體均值`a估計在（`x -一個标準差）的範圍内，這種形式的估計就叫作區間估計，因為它把未知值估計在一個範圍内。

方差是總體中各個體指标的散布程度的綜合刻畫，它在一定意義上也有助于刻畫樣本均值在估計總體均值時的精度。但是，由于總體中個體指标值的分布可能是均勻的，可能是“兩頭大，中間小”或“兩頭小，中間大”等，這種分布上的差異，将導緻區間（`x -一個标準差）的可靠程度有很大差異。

對于分布我們将做如下介紹。設一總體包含N個個體，其指标值分别為a₁ , …, a_N。所謂“指标值”，就是個體的某種性質的數量刻畫，而這種性質是與我們所研究的問題有關的。設我們從總體中随機抽出一個個體，并以X記其指标值，常把X稱為随機變量。當把相近的指标值結成一組，并給出組的比率，我們将得到如下的分布的直方圖。

在許多實際問題中，總體所含個體數或者是為數極大的，或者在理論上說是無窮大的。則X這個變量原則上有無窮個可能值，我們可以采用“以有限逼近無限”的方法，在X的取值無限制地增加下，直方圖在理論上愈來愈接近一條曲線，如下圖（b）所示。

從理論的觀點看，這條曲線給出了總體指标分布的一個完整的描述，即稱為總體指标的分布密度曲線。如果在平面上引進直角坐标系，分别以x和y記一個點的橫坐标和縱坐标，則一條曲線可用一個函數y=f(x)去刻畫，這個f(x)也就稱為總體指标的分布密度函數。

上圖即為分布密度曲線與函數。并具有以下三條基本性質：

1） 這條曲線全在橫軸的上方；

2） 總體中，指标值介于a和b之間的個體所占的比率，等于圖中斜線部分的面積；

3） 曲線與橫坐标軸之間圍成的面積等于1。

下圖曲線所代表的的函數就是标準正态密度函數。确切公式為：

這條曲線關于y軸對稱，在x=0處達到它的最高點，從這最高點出發，往正負兩個方向都下降到橫軸上去。這條曲線與橫軸圍成的面積為1，而且：

在-1到1之間的面積為0.683；

在-2到2之間的面積為0.956；

在-3到3之間的面積為0.997；

在-1.960到1.960之間的面積為0.950；

在-2.576到2.576之間的面積為0.990；等。

服從标準正态分布的總體，其指标值X的均值是0，方差是1。常記為X~N(0,1)。若X服從正态分布，但其均值為a，方差為σ^2，則記為X~N(a,σ^2)，且(X-a)/σ~N(0,1)。(X-a)/σ稱為把指标X“标準化”。

正态分布是統計學中最重要的一種分布。

1） 實用方面看，在許多問題中，總體指标的分布都很接近于正态分布，例如一群人的身高、體重、血壓，重複測量某個量（如稱物）所得到的結果，大批生産一種産品時，其某項質量指标等等。

2） 正态分布的統計問題在理論上解決得很徹底且便于應用。它具有許多優良性質，列舉兩個如下：

(1)樣本均值的正态性。設總體中個體的某項指标X~N(a,σ^2)。現在給定一個自然數n，從該總體中随機地抽出n個樣本，結果記為X₁,…,X_n。以`x記樣本均值，則`x仍服從正态分布，

(2)若指标X服從正态分布N(a,σ^2)，A和B為兩個常數，A不等于0。 令Y=AX B，則指标Y仍服從正态分布，确切地說，有

前文我們說到，标準差可以在平均意義上反映樣本均值的精度，但是從區間估計的角度看，僅憑标準差已不能給出什麼帶普遍性的結論，而必須結合指标的分布去考察才行。

由于在實際問題中分布是各式各樣的，這就注定了不可能提出一種簡易可行、處處适用的方法。幸好，上文提到的正态分布有很大的普遍性，因此，針對這種分布提出的解法（即得到給定置信系數的區間估計,置信系數：把未知的均值估計在某一區間内，其正确的機會），有相當程度的普遍意義。另外，對一般的（可以是非正态的）分布而言，隻要樣本大小足夠大，基于正态分布的解法仍能适用，隻是從理論上說，這種解法是近似地而非确切的。下面分三種情況介紹相應的解法：

1） 總體中個體指标X的分布是正态的，即X~N(a,σ^2)，其中方差已知，要估計的是均值.

從總體中抽取了n個樣本X₁,…,X_n，則樣本均值

，于是标準化變量

服從标準正态分布N(0,1)

我們知道标準正态密度曲線在-1到1之間的那部分面積是0.683（即總體中指标值介于±1之間的那些個體，在總體中所占比率為0.683）。根據這個結論，不等式

實現的機會為0.683。以上不等式可改寫為

未知的a落在該區間内的置信系數為0.683。

同理，我們可以得到一系列的區間估計：

以上，可以看出，置信系數取得越高（即對估計越有把握），相對應付出的代價就是估計區間變大了。

一旦取定了一個置信系數，則區間長度也定下來了。

例如，取置信系數為0.95，則區間長度為

如果l太大，則估計很粗糙并且實際意義也很小。我們不能靠犧牲置信系數來降低這個長度，因為這會使估計變得很不可靠，用起來有危險。解決辦法是選擇适當的樣本大小n。由上面求l的式子可知，如果我們指定區間之長不能超過某個限度l₀，則n必須滿足：

2） 總體中個體指标X的分布是正态的，即X~N(a,σ^2)，其中方差未知，要估計的是均值.

例如，取置信系數為0.95，在方差已知的情況下，則用區間估計

，現在由于方差未知，則這區間的端點算不出來。一種解救辦法是用樣本的标準差s，經修正為無偏估計的s₁作為σ的估計以代替

得出的區間估計為

由于我們對上面區間估計的計算是根據

服從标準正态分布N(0,1)這個性質的，用s₁代替後，由于s₁本身就是從樣本算出的，它有随機性而非常數，故代替後的變量已不再是服從标準正态分布。它的分布是英國統計學家哥色特在1908年發現的，稱為自由度為n-1的t分布，常記為t_n-1。此分布的形狀與标準正态分布很相似，在外表上無法區别，理論上可以證明，當樣本大小n愈來愈大，t分布愈來愈接近于标準正态分布。大樣本的情況将在接下來介紹，但針對總體服從正态分布，方差未知，又是小樣本的情況，t分布将給我們的區間估計帶來幫助。

由于分布t_n-1已不是标準正态分布，與置信系數0.95,0.99和0.90等對應的，已不是前面指出的1.96,2.576和1.645，而是比較複雜，因為它與自由度n-1有關。我們約定用t_n-1（置信系數）記相對應的系數，修正後的區間估計是

3） 設有一個無限總體（包含無窮個個體），或包含極大數目個體的總體。從總體中抽取了n個樣本X₁,…,X_n，要用它對均值作估計。

統計學的理論證明了一個極重要的事實：不論原總體的分布如何，隻要n很大且n/N很小，則變量

仍近似地有正态分布，甚至在把用其估計值s₁代替時，這個性質仍成立：

近似地服從N(0,1)。在統計學上，把這個重要的理論結果叫作“中心極限定理”。在這個約定的前提下，用前面的方法，就可以求出的區間估計（置信系數為0.95）為

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