素數是所有數字的基礎，就如元素周期表中的化學元素一樣，化學元素是組成所有化學物質的基礎，素數包含了數的所有奧秘，所以數學研究者對素數有着特殊的喜愛。

素數也叫質數，指大于1的自然數中，除了1和它本身外不再有其他因數的自然數，比如2、3、5、7、11、13……。

最初研究素數的是古希臘數學家歐幾裡得（約公元前330年—前275年），他在《幾何原本》中用反證法，對“素數有無窮多個”給出了一個經典的證明方法。

證明思路：

假設存在最大的素數P，那麼将已知所有的素數相乘再加1，得到M：

M=2×3×5×7×11×……×P 1，

顯然M不可能被已知的任何一個素數整除，所以M有可能是素數，或者存在比P更大但是比M小的素數因子；無論哪種情況，都說明存在比P更大的素數，與假設矛盾，所以素數是無限的。

素數是構成整數的基礎，所有整數都可以用素數來表示，如下：

所以素數包含了所有整數的奧秘，整數分解就是破解整數奧秘的途徑之一，因為整數分解後隻剩下素數因子。

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素數的應用

在現實生活中，數的分解是許多網絡加密的基礎，我們要把兩個已知數相乘很容易，但是要把一個大數分解卻很難，利用整數的這一非對稱特性，密碼學家巧妙地設計了加密和解密的數學原理，比如RSA非對稱加密算法，就是基于大數分解。

換句話說，一旦出現一種算法能很快地分解一個大數，那麼RSA加密方法将失效，但是目前為止還沒有出現這樣的高效算法。

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素數的未解之謎

數學家圍繞素數發現了許多規律，其中很多還是猜想，有些曆經幾百年也沒有人能夠證明，這些猜想都是數學上的聖杯，誰要是能證明其一，必定名留青史。

（1）哥德巴赫猜想

猜想内容：任何一個大于2的偶數，都可以寫成兩個素數之和，簡稱“1 1=2”。

哥德巴赫于1742年提出，如今已經270多年，最好的成果是我國數學家陳景潤證明的“1 2”，也就是：任一充分大的偶數，都可以寫成一個素數與一個不超過兩個素數的乘積之和。

（2）孿生素數猜想

相差2的素數對叫做孿生素數，比如5和7，11和13，該猜想說的是孿生素數有無窮多對。

目前最好的成果，是美籍華人數學家張益唐，在2013年提出一種方法，證明存在無窮多個差小于某個數M的素數對，當時張益唐證明了M=7000萬的情況，一旦完成M=2就解決了孿生素數猜想，目前M已經被縮小到了200多。

（3）ABC猜想

該猜想描述了三個互素整數a、b、c（滿足a b=c）的素因子之間的關系，是數論中一個非常美妙的猜想，也是一個非常強的數學猜想，一旦ABC猜想被證明，那麼證明費馬大定理隻需要短短五句話。

ABC猜想最新的消息，是2012年日本數學家望月新一宣稱完成了證明，他的證明過程足足有500多頁，其中有很多他自定義的符号和算法，以至于到現在還沒有人能對他的證明給出合理評判。

（4）黎曼猜想

素數擁有無窮多個，但是素數的分布極為不規律，由于素數在整數中的特殊性，數學家對素數始終有着特殊的愛好，也有很多優秀的數學家竭盡一生去研究素數分布規律。

對素數分布規律的第一個突破性進展，是大數學家高斯在1792年（15歲）發現了素數定理，素數定理說的是素數分布與積分函數漸近，但是高斯也無法證明素數定理，使得素數定理成為19世紀最著名的數學難題，直到1896年，素數定理才被其他人證明。

素數定理是素數分布的漸近公式，但是随着數字的增大，素數定理和素數分布的絕對誤差将會趨向于無窮，所以素數定理的實用性并不大。

直到1859年，高斯的學生黎曼在一篇論文中，擴展了100多年前歐拉發現的一個公式，然後推導出一個素數分布的準确公式π(x)，該公式是否成立，取決于一個猜想是否正确——黎曼猜想。

從黎曼猜想中我們可以看出，素數的分布取決于黎曼函數的非平凡零點分布，由于黎曼函數的所有非平凡零點，對每個素數都有貢獻，使得黎曼猜想的證明變得相當艱難。

在2018年9月，89歲高齡的英國數學家邁克爾·阿蒂亞宣稱證明了黎曼猜想，引起全世界的關注，可惜他的證明并不成立，他本人也于2019年1月11日去世。

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