勾股定理之所以被西方稱為“畢達哥拉斯定理”，是因為畢達哥拉斯學派第一個證明了它的普遍正确性。即使我們應用它的曆史記錄早了1000年，我們可能并不能确定它對任何的直角三角形都成立，而隻能确定它對我們所測試的三角形成立。

但是畢達哥拉斯怎樣知道這個定理對于每個直角三角形都是成立的呢？他不可能期望測試所有的不同的直角三角形（不完全歸納），然而他仍然百分百的确信這個定理絕對正确。讓他如此笃定的原因就是——數學證明這個概念。尋找一個證明就是尋找一種認識，這種認識比任何别的訓練所積累的認識都更不容置疑。

這種證明不但可以獲得親人和朋友的掌聲，就是你的敵人也隻能俯首稱臣、毫無辯駁。

2500年來，驅使着數學家甘心的賠上生命的正是這種以證明的方法發現最終真理的欲望。

1、 證明的絕對性

經典的數學證明辦法是從一系列公理、陳述出發，這些陳述有些可以是假定為真的，有些則是顯然為真的；然後通過邏輯論證，一步接一步，最後就可能得到某個結論。公理是正确的，邏輯也無缺陷，那麼得到的結論将是不可不否定的。這個結論就是一個定理。

數學證明是依靠邏輯過程，而且一經證明就永遠是對的，這就是數學證明的絕對性。

為什麼數學證明必須是絕對正确的呢？

如果一個定理不被完全證明就當作是正确的，那麼它就會被用于另外一系列别的較大的證明中不可或缺的要素。然後這些較大的證明又被用另外一些證明，如此以往，可能有成百上千個定理要依賴于這個最初的未經核查的定理的正确性。萬一在某個時候發現這個最初被依賴的定理是錯的，那龐大的數學領域将會崩潰。

數學證明是不能靠舉例完成的，舉例法唯一能用的場合就是反證法，即證僞。證明是使用再多的例子都沒有用。而這一點在我們的教育中是如此地荒謬。我們在上學時，寫文章經常被要求舉例，這些都是邏輯上嚴重的漏洞，我們卻一代一代的傳承下來了（這也是不同學科的特點決定的，這裡隻是借此說明數學的邏輯性，别無他意）。

定理是數學的基礎，因為一旦它們的正确性被證明，就可以放心地在它們上面建立别的定理。任何依賴猜想而進行的邏輯推理，其本身也是一個猜想。

畢達哥拉斯說“萬物皆數”，這個結論他沒有給出完美的證明，也就是說這隻能是個猜想。但可惜的是，他猜錯了。據說，他的一個叫希伯索斯的學生問他，一個直角邊長均為1的直角三角形的斜邊長是多少？希帕索斯不知道經過怎樣的計算，發現這個數并不能用分數來表示，也就是說畢達哥拉斯前面剛提出來的“萬物皆數”被無數人認為是真理的理論竟然是錯誤的，大廈将傾？希伯索斯的問題直擊畢達哥拉斯的心髒，為了自己的名譽與地位，狠心的畢達哥拉斯和他的門徒把希伯索斯丢進了大海。

2、 無理數

所有的可以寫成分數形式P/Q（Q≠0，P、Q是既約分數）的數都是有理數，無理數就是不能寫成分數形式的數。為什麼√2不是有理數呢？它為什麼不能表述成上述形式呢？

2.1√2是無理數

√2是無理數的證明方法有很多，下面給出簡單又實用的三種證法。

2.1.1（反證法）

假設√2為有理數,那麼存在兩個互質的正整數p,q（互質公約數隻有1的兩個整數）,使得:

√2=p/q

于是p=(√2)q

兩邊平方得

p^2=2q^2(“^”是幾次方的意思）

由2q^2是偶數,可得p^2是偶數.而隻有偶數的平方才是偶數,所以p也是偶數.

因此可設p=2s,代入上式,得：

4s^2=2q^2,

即

q^2=2s^2.

所以q也是偶數.這樣,p,q都是偶數,不互質,這與假設p,q互質矛盾.

這個矛盾說明, √2不能寫成分數的形式,即√2不是有理數.

實際上這個證明的方法還可以有如下不同的解讀，

手工開根号2

2.2.2唯一分解法

假設(p/q)^2=2，那麼p^2=2q^2。我們将要證明，一個數的平方等于另一個數的平方的兩倍是根本不可能的。如果對一個平方數分解質因數，它必然有偶數個因子（x^2的所有質因子就是把x的質因子複制成兩份）。于是，p^2有偶數個質因子，q^2有偶數個質因子，2q^2有奇數個質因子。等号左邊的數有偶數個質因子，等号右邊的數有奇數個質因子，大家都知道這是不可能的，因為同一個數隻有一種分解質因數的方法（唯一分解定理）。

2.2.3無限下推法（輾轉相除法或無限遞降法）

由2.2.1可知，q也是偶數，設q=2t,

故而有√2= p/q=2s/2t=s/t,現在得到一個分數s/t，它比p/q簡單。

然而，我們發現對s/t可以精确的重複以上的同一個過程，如此一次次重複下去，永遠不會結束。但是任何分數都不可能永遠簡化下去，總有一個最簡單的分數存在，而我們最初假設的不符合這個法則，故而，假設不成立。所以，√2是一個無理數。

這個過程可由如下圖解法進行解釋:

現在看怎麼解釋，在圖中的BC和BD之間進行輾轉相除為什麼永遠不能停止。把BD減去BC，剩下一段DE。以DE為邊做一個新的小正方形DEFG，那麼顯然DE=EF=FC（∵△EDF為等腰直角且△BEF≌△BCF）。接下來我們應該在BC和DE間輾轉相除。BC就等于CD，CD減去一個DE相當于減去一個FC，就隻剩下一段DF了。現在輪到DE和DF之間輾轉相除，而它們是一個新的正方形的邊和對角線，其比例正好與最初的BC和BD相當。于是，這個操作再次回到原問題，并且無限遞歸下去。最後的結論用我們的話說就是，不存在一個數x使得BC和BD的長度都是x的整倍數。于是，BD/BC不能表示為兩個整數之比p/q（否則BD/p=BC/q，這就成為了那個x）。

還有一個更加簡潔的證明，這個證明雖然與前面的證明有些類似，但它的簡潔性讓我大為折服——沒有最簡，隻有更簡，我們一直在路上。

同樣是證明不存在整數p, q使得p^2=2q^2，這個證明隻需要一句話。假如p、q是最小的正整數使得p^2=2q^2，看圖，兩個邊長為q的小正方形放在一個邊長為p的大正方形裡，那麼圖中深灰色正方形的面積就等于兩個白色正方形面積之和（面積守恒），于是我們就找到了具有同樣性質的更小的整數p和q，如此可以無限遞推下去------。

2.2第一次數學危機

希伯索斯的死并沒有引起人們對無理數問題的深入分析，無理數這個邏輯推理生出的怪蛋，一直困惑和折磨着有獨立意識的人們，人類認識世界的腳步慢了。第一次數學危機的陰雲開始長時間的籠罩着數學這座大廈的上空。（數學史上稱在“萬物皆數”的信仰統治下算不出正方形對角線的長這一數學困惑為第一次數學危機）

人類認識無理數的過程，遠要比想象的更加漫長和曲折。從希伯索斯起至基礎理論基本完備止，整整經曆了二十多個世紀。從“無理數”三個字的含義，就足以表明人類接受這一概念的艱難程度。

數學家們經過不懈的努力，終于在19世界給出了無理數的準确定義和性質，其中的代表人物有戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind ，1831-1916，偉大的德國數學家、理論家和教育家，近代抽象數學的先驅，是數學家高斯的得意門生）、羅素（Bertrand Arthur William Russell，1872年-1970年，英國哲學家、數學家、邏輯學家、曆史學家、文學家，分析哲學的主要創始人，世界和平運動的倡導者和組織者）、康托爾（德國數學家，集合論的創始人）、威爾斯斯特拉斯（年輕時是一位體育教師，快40歲才開始搞數學，真正成名已經60歲，從他身上看出興趣是最好的老師，隻有堅持不懈的人才配有不朽的未來）等人。

由于無理數的引入，排除了第一次數學危機，或者我們應該慶幸第一次數學危機來的早，使得無理數這個危機的闖入者早早登上了數學的舞台。我們應當為希伯索斯鳴冤叫屈，佩服他的反抗意識與不屈的精神。傳說中的希伯索斯身高1.41米，體重141磅，他的生理指标暗示他就是√2的化身，是上帝派來的天使。傳說隻能是傳說，我們姑妄聽之，但有一點是不可姑妄的，那就是科學精神絕非信仰，科學是批判的與理智的、疑問的與嚴謹的、創造的和求實的，科學工作中不容忍迷信、崇拜和信仰，也希望宗教徒們不要總拉科學的大褂襟，為其布道保駕護航。

當代生命科學中的政治糾纏:黃禹錫被打壓

曆史的教訓在于給人類以教益。科學完全走出政治強權的陰影，完全走出李森科之流的陰影，這在今天仍然是人類的一項艱巨的任務。控制論的創立者諾伯特·維納說：“科學是一種生活方式，它隻在人們具有信仰自由的時候才能繁榮起來。基于外界的命令而被迫去遵從的信仰并不是什麼信仰，基于這種假信仰而建立起來的社會必然會由于癱瘓而導緻滅亡，因為在這樣的社會裡，科學沒有健康生長的基礎。”

3.實數

簡單性質：

l 實數可實現的基本運算有加、減、乘、除、乘方等，對非負數（即正數和0）還可以進行開方運算。實數加、減、乘、除（除數不為零）、平方後結果還是實數。任何實數都可以開奇次方，結果仍是實數，隻有非負實數，才能開偶次方其結果還是實數。

l 實數集R對加、減、乘、除（除數不為零）四則運算具有封閉性，即任意兩個實數的和、差、積、商（除數不為零）仍然是實數。

l 實數集是有序的，即任意兩個實數a、b必定滿足下列三個關系之一：a<b,a=b,a>b.

l 實數大小具有傳遞性，即若a>b,b>c,則有a>c.

l 實數集R具有稠密性，即兩個不相等的實數之間必有另一個實數，既有有理數，也有無理數.

l 如果在一條直線（通常為水平直線）上确定O作為原點，指定一個方向為正方向（通常把指向右的方向規定為正方向），并規定一個單位長度，則稱此直線為數軸。任一實數都對應與數軸上的唯一一個點；反之，數軸上的每一個點也都唯一的表示一個實數。于是，實數集R與數軸上的點有着一一對應的關系。

l 實數集是不可數的，也就是說，實數的個數嚴格多于自然數的個數（盡管兩者都是無窮大）。後續會有專門論述

4、 虛數

4.1虛數出現與發展

正當人們依舊困惑于負數和無理數的時候，另一位披着神秘面紗的不速之客出現了。

12世紀的印度大數學家婆什伽羅認為方程x^2 1=0是沒有解的。他認為正數的平方是正數，負數的平方也是正數，因此，一個正數的平方根是兩重的；一個正數和一個負數，負數沒有平方根，因此負數不是平方數。這等于不承認方程的負數平方根的存在。

1484年，法國數學家舒開在一本書中，把方程4 x²=3x的根寫成：

盡管他一再聲明這根是不存在的，但畢竟第一次在形式上出現了負數的平方根。

1545，意大利數學家卡當在讨論是否可能将10分為兩個部分，而使兩者之積等于40時，他指出：盡管這個問題沒有實數解，然而，假如把答案寫成如下兩個令人詫異的形式，就能滿足題目的要求。他驗證說（利用的工具是韋達定理）：

1637年法國數學家笛卡爾，在其《幾何學》中第一次給出“虛數”（ 本意就是指它是虛假的）的名稱，并和“實數”相對應。

又大約過了140年，大數學家歐拉開始使用i（imaginary虛幻）表示√-1。歐拉盡管在許多地方用了虛數，但又說：“一切形如,√-1，√-2的數學式子都是不可能有的，想象的數，因為它們所表示的是負數的平方根。對于這類數，我們隻能斷言，它們既不是什麼都不是，也不比什麼都不是多些什麼，更不比什麼都不是少些什麼，它們純屬虛幻。”

1801年，高斯系統地使用了符号i，并把它與實數混成物a bi(a,b為實數)稱為複數。此後i與複數便漸漸通行于世界。

大膽揭示虛數神秘面紗的，是挪威的測量學家魏塞爾，他找到了複數的幾何表示法。

4.2虛數的解釋與表示

4.2.1什麼是虛數？

首先，假設有一根數軸，上面有兩個反向的點： 1和-1。

這根數軸的正向部分，可以繞原點旋轉。顯然，逆時針旋轉180度， 1就會變成-1。

這相當于兩次逆時針旋轉90度。

因此，我們可以得到下面的關系式：

　( 1) * (逆時針旋轉90度) * (逆時針旋轉90度) = (-1)

如果把 1消去，這個式子就變為：

(逆時針旋轉90度)^2 = (-1)

将"逆時針旋轉90度"記為 i ：

i^2 = (-1)

這個式子很眼熟，它就是虛數的定義公式。

所以，我們可以知道，虛數 i 就是逆時針旋轉90度，i 不是一個數，而是一個旋轉量。

4.2.2複數的定義

既然 i 表示旋轉量，我們就可以用 i ，表示任何實數的旋轉狀态。

将實數軸看作橫軸，虛數軸看作縱軸，就構成了一個二維平面。旋轉到某一個角度的任何正實數，必然唯一對應這個平面中的某個點。

隻要确定橫坐标和縱坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某個實數的旋轉量（45度）。

數學家用一種特殊的表示方法，表示這個二維坐标：用 号把橫坐标和縱坐标連接起來。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 i 。這種表示方法就叫做複數（complex number），其中 1 稱為實數部，i 稱為虛數部。

道路是曲折的，前途是光明的。在我們振臂高呼的時候不要忘了那些為科學默默奮鬥的科學家，為他們點個贊吧。

5.複數

形如z=a bi的數稱為複數（complex number)，其中規定i為虛數單位，且i^2=i×i=－1（a，b是任意實數）

我們将複數z=a bi中的實數a稱為複數z的實部（real part)記作Rez=a

實數b稱為複數z的虛部（imaginary part）記作 Imz=b.

已知：當b=0時，z=a，這時複數成為實數；當且僅當a=b=0時，它是實數0；

當a=0且b≠0時，z=bi，我們就将其稱為純虛數。

将複數的實部與虛部的平方和的正的平方根的值稱為該複數的模，記作∣z∣.

即對于複數z=a bi，它的模

∣z∣=√（a² b²)

複數的集合用C表示，實數的集合用R表示，顯然，R是C的真子集。

複數集是無序集，不能建立大小順序。

至此數的發展史已全部寫完，其中有詳有略，感謝喜歡的朋友，因為個人能力有限如有不當之處歡迎批評指正。其中包含的豐富的人生哲理這裡不再贅述，隻想說科學的發展道路注定是坎坷的、艱辛的，甚至是殘酷的、血腥的。願我們能溫柔以待那些和我們膚色不同的人、思想不同的人、習俗不同的人，少一點侮辱、少一點殘忍、少一點争鬥，畢竟科學發展的終極目的就是讓我們有權利成為自己，并且會被寬容的對待。

注：下次更新關于“運算”的思考，歡迎朋友們關注與讨論。

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