林根數學 今天

周春荔先生在一篇文章中，談到了一個例題：

“證明存在兩個無理數x,y，使z=x的y次方是有理數。

證法一：用反證法，

設對于任何兩個無理數x，y，來說，z=xy都是無理數，那麼

就一定是無理數．進而

也就是無理數。

但是

是有理數，因此得出矛盾。這表明，存在有兩個無理數，使得z=x的y次方是有理數。”

這個證明本身沒有什麼問題，但它沒有給我們一個實際的構造方法，即，對一般情況的兩個無理數α，β，我們如何判斷α的β次方是不是無理數呢？

實際上，比無理數更深一點的概念是代數數和超越數。

定義：一代數數ξ乃适合方程

之根，此處，an,an-1,…,a1,a0是有理整數，若此式不可分解，且an≠0，則此ξ稱為n次的代數數．若an = 1，則此ξ稱為n次的代數整數．

非代數數的數稱為超越數。

超越數的判斷很困難，現在人們所知的超越數不多，比如常見的數e,π,Hermit第一個證明了e是超越數，Lindemann第一個證明了π是超越數。

至于其它的證明，雖然時有聲稱隻用簡單方法就證出這個結論，但正确性未經同行檢驗。

比如下面的證明：

（見《中學數學雜志》2010年第 7期）

兩個方面需要注意：

（1）超越數的理論更艱深。人們對無理數甚多了，可是對超越數的了解現在還極少，甚至還沒有入門；

（2）超越數的數的測度遠遠大于無理數，意思說，無理數是無窮的，可是它和超越數相比，就幾乎是0個；就如同自然數是無窮的，可是與無理數相比幾乎是0個一樣的。換句話說：“幾乎”所有數都是超越數！

通過文首周先生的文章，我們知道了無理數的無理數次方有可能等于有理數，但我們隻是知道有了這樣的數，但這個到底在哪兒？如何構造出來？卻不是那麼容易的。好在，有個 Gelfond-Schneider 定理，這個定理由AleksandrGelfond和Theodor Schneider在1934年獨立證明，它回答了希爾伯特第七問題。

1900年，Hilbert提出了著名的23個數學大問題，其中第7個問題是：

若α≠0，1，且是一代數數，β是一非有理數之代數數，問α的β次方是否是超越數。并舉出兩例：即能否證明

是超越數。

關于此問題第一個作出重要貢獻的前蘇聯數學家Гельфонд,他在1929年證明了eπ是超越數。

後來，兩人前蘇聯數學家Куэьмин和Гельфонд再接再厲，将Гельфонд的方法推廣到實二次域，在1630年證明了2的√2次方是超越數。

至于說類似的形式，比如：π的e次方， π的π次方，e的e次方，是不是超越數，感興趣的讀者可以試一下證明。

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