祖暅原理推導球體積的過程?圓柱、圓錐、圓台的表面積圓柱的側面展開圖是一個矩形如果圓柱的底面半徑為 r ，母線長為 l ，那麼圓柱的底面面積為 πr²，側面面積為 2πrl 圓柱的表面積為，接下來我們就來聊聊關于祖暅原理推導球體積的過程?以下内容大家不妨參考一二希望能幫到您!

祖暅原理推導球體積的過程

圓柱、圓錐、圓台的表面積

圓柱的側面展開圖是一個矩形。如果圓柱的底面半徑為 r ，母線長為 l ，那麼圓柱的底面面積為 πr²，側面面積為 2πrl 。圓柱的表面積為

S = 2 π r² 2 π r l= 2 π r ( r l )

圓柱和圓錐展開圖

圓錐的側面展開圖是一個扇形。如果圓錐的底面半徑為 r，母線長為 l，圓錐的表面積為

S = π r ² π r l = π r ( r l )

圓台的側面展開圖是一個扇環，它的表面積等于上、下兩個底面的面積和加上側面的面積，即

S = π ( r'² r² r'l r l )

圓台展開圖

柱體、錐體與台體的體積

柱體的體積為 V = S h

錐體(圓錐和棱錐)的體積為同低等高的柱體(圓柱和棱柱)的三分之一，即

椎體的體積公式

台體的體積為

台體的體積公式

設球的半徑為R，它的體積是以R為自變量的函數。

球的體積

球的表面積S也是以R為自變量的函數。

球的表面積

證明題

祖暅原理 : “幂勢既同，則積不容異”。“ 幂 ”即面積，“ 勢 ”即高，這原理是說，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任何平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那這兩個幾何體的體積一定相等。

祖暅原理

根據祖暅原理可推導出，等底面積等高的兩個椎體的體積相等。

用祖暅原理推導幾何體的體積公式

設有底面積都等于S，高都等于h的兩個錐體(或柱體)，使它們的底面在同一平面内。根據祖暅原理，可推導出它們的體積相等。

① ②

根據圖 ② 可得三棱錐的體積等于棱柱體積的三分之一。

椎體的體積公式

應用祖暅原理研究半球(半徑為R)的體積計算:

設平行于大圓且與大圓的距離為 ι 的平面截半球所得圓面的半徑為 r，r = √( R²-ι² )，于是截面面積

S1 = π r² =π (R²-ι²) = πR² - πι²

S1 可以看成是在半徑為 R 的圓面上挖去一個半徑為 l 的同心圓，所得圓環的面積。

半圓的體積研究

取一個底面半徑和高均為 R 的圓柱，從圓柱中挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐，把所得的幾何體與半球放在同一水平面上。用任一水平面去截這兩個幾何體，截面分别為圓面和圓環面，圓環大圓半徑為 R ，小圓半徑為 ι，則面積S2 = πR²-πι²=π (R²-ι²)，則 S1 = S2 。根據祖距原理，這兩個幾何體體積相等。

球的體積

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