相信大家都會應用洛必達法則求未定式函數極限吧。就是對那些可導的無窮小或無窮大之間的積、商、幂關系的函數，通過轉化成0比0型或無窮大比無窮大型的未定式極限，然後運用洛必達法則，對分子分母同時求導，可以多次運用洛必達法則，化簡得到連續函數的極限，從而得到原極限的值。
那麼對未定式數列的極限，你也會解決嗎？由于數列不存在可導的問題，所以并不能直接運用洛必達法則，因此必須結合歸結原則，才能求未定式數列的極限。例如下面這個數列極限，要怎麼求呢：
求數列極限：lim(n->無窮大)(1 1/n 1/n^2)^n.
【這是一個1的無窮大次幂的不定式數列極限，我們可以直接解決它的同類型函數極限】
解：lim(x->正無窮大)(1 1/x 1/x^2)^x=lim(x->正無窮大)((x^2 x 1)/x^2)^x
=e^lim(x->正無窮大)ln((x^2 x 1)/x^2)/(1/x).
【現在指數的這個極限就是0比0型的未定式函數極限，可以直接運用洛必達法則】
因為lim(x->正無窮大)ln((x^2 x 1)/x^2)/(1/x)=lim(x->正無窮大)(2x-(2x^3 x^2)/(x^2 x 1))
=lim(x->正無窮大)((x^2 2x)/(x^2 x 1))=1.
所以lim(x->正無窮大)(1 1/x 1/x^2)^x=e.
由歸結原則可知，原極限=e.
事實上，所以此類問題都可以直接運用歸結原則，因為當n趨于無窮時, x=f(n)=n也趨于正無窮大，正好是函數極限變量所趨向的點，所以符合歸結原則的定義。為了讓大家對歸結原則有更深入的理解，對這道題再次運用歸結原則，提供第二種解法。這次我們要解的函數極限形式會有所變化：
解：lim(x->0 )(1 x x^2)^(1/x)=e^lim(x->0 )ln((1 x x^2)/x).
因為lim(x->0 )ln((1 x x^2)/x)=lim(x->0 )ln((2x 1)/(1 x x^2))=1.
所以lim(x->0 )(1 x x^2)^(1/x)=e.
因為x=1/n->0 , (n->無窮大)，【即當n趨于無窮大時，函數極限變量x正好趨于0 】
由歸結原則可知，原極限=e.
兩個方法仔細一比較，不難發現第二種解法要簡便得多。通過比較，也能發現歸結原則的關鍵點在哪裡。你仔細比較過了嗎？
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