物理圖像就是把物理情景用函數圖像形式來展示，對圖像的認識我們要從以下幾點來掌握。

一.認識坐标軸

1.分清橫軸、縱軸所代表的物理量和單位以及起始坐标(起始坐标不為零是為了更好展示圖像)。

2.弄清物理量是矢量還是标量。

矢量大小變化看絕對值，标量大小變化看代數值

F先變小，後反向變大再變小；Ep先變小後變大。

3.矢量隻能表示兩個方向

若物理量是矢量，隻能表示兩個方向，正方向和負方向，隻能表示直線運動，不能表示曲線運動。

二.圖線的特征

注意觀察圖像中圖線的數學意義，分析圖線所反映兩個物理量之間的關系，找出它們之間的函數關系，進而明确圖像反映的物理内涵，以及斜率、面積代表的物理意義。

1.函數表達式

例題：一輛汽車在平直的公路上以某一初速度運動，運動過程中保持恒定的牽引功率，其加速度a和速度的倒數（1/v）圖像如圖所示.若已知汽車的質量，則根據圖像所給的信息，不能求出的物理量是（D）

A.汽車的功率

B.汽車所受到的阻力

C.汽車行駛的最大速度

D.汽車運動到最大速度所需的時間

【解析】由P＝F·v和F-Ff＝ma，結合數學知識a=k/v b，

得出：

斜率k=P/m，縱軸截距b=Ff/m。

例題：如圖是一裝有油的容器，将小球從油面處靜止釋放，若小球在油槽中運動時所受阻力與速度成正比，則小球釋放後做什麼運動？

a=(mg-f)/m=(mg-kv)/m

例題：一汽車從靜止開始做勻加速直線運動，然後刹車做勻減速直線運動，直到停止.下列速度v和位移x的關系圖像中，能描述該過程的是（）

根據勻變速直線運動規律v²-v₀²=2ax

初速度為零的勻加速直線運動的v-x圖和x-v圖

v=f(x)和x=f(v)是一對反函數，圖像關于y=x對稱，一對反函數的導數互為倒數。

例題：小球從一定高度處由靜止下落，與地面碰撞後回到原高度再次下落，重複上述運動。取小球的落地點為原點建立坐标系，豎直向上為正方向。下列速度v和位置x的關系圖象中，能描述該過程的是（A）

先寫x-v函數，

下落過程：h-x=(-v)²/(-2g)，

x=h-v²，

上升過程：x=(v²-v₀²)/(-2g)

順時針旋轉，以x軸上下翻轉。

例題：甲、乙兩質點在同一時刻、從同一地點沿同一方向做直線運動.質點甲做初速度為零、加速度大小為a₁的勻加速直線運動，質點乙做初速度為v₀、加速度大小為a₂的勻減速直線運動，當速度減為零後保持靜止.甲、乙兩質點在運動過程中的x-v（位置一速度）圖像如圖所示，虛線與對應的坐标軸垂直，則（）

A.在x-v圖像中，圖線a表示質點甲的運動，質點乙的初速度v₀＝12m/s

B.質點甲的加速度大小a₁＝2m/s²

C.質點乙的加速度大小a₂＝2m/s²

D.圖線a、b的交點表示兩質點同時到達同一位置

2.橫縱軸截距的物理含義

x-t圖的縱軸截距表示起始位置，v-t圖的縱軸截距表示初速度…

3.斜率的物理含義

斜率看△y/△x的含義，物理圖像中斜率的含義用v-t圖a=△v/△t類比。

（1）圖像的斜率表示某一物理量的變化率。

①.表示物理量随時間的變化率

a.位移-時間圖像的斜率表示速度

b.速度-時間圖像的斜率表示加速度

c.磁通量-時間圖像的斜率表示電動勢

②.表示物理量随空間的變化率

a.電勢-位置圖像的斜率表示電場強度

b.磁感應強度-位置圖像的斜率單位面積一匝線圈産生的電動勢

（2）圖像的斜率表示某一物理量

①.表示某一具體的物理量

a.電阻上電壓-電流（R=U/I）圖像的斜率表示電阻

b.電源端電壓-電流（U=E-Ir）圖像的斜率表示電源内電阻

c.加速度-合外力（a=F/m）圖像的斜率表示質量的倒數

②.表示某幾個物理量的組合

a.速度-位置圖像的斜率表示加速度與速度(a/v)的比值

☞注意分清和原點連線斜率，割線斜率，切線斜率。

以“v²-x圖”為例：

猜測斜率的含義方法是看單位，斜率是相除，v²/x的單位是m/s²，斜率可能表示加速度，但不确定。

k=△(v²)/△x，并非(△v)².

在一小段位移△x内，物體的加速度a可看作基本不變，根據

v²-v₀²=2ax，即△(v²)=2a△x，

斜率為2a。

一階導數可以用來描述原函數的增減性。區間内，一階導數大于零，單增，一階導數小于零，單減。

二階導數可以用來判斷函數在一段區間上的凹凸性，二階導大于零，是凹的，小于零是凸的。

三階導數一般不用，可以用來找函數的拐點，拐點的意思是如果曲線f(x)在經過點(x₀,f(x₀))時，曲線的凹凸性改變了，那麼就稱這個點為曲線的拐點。若f(x)在x0的某鄰域内具有三階連續導數，f’’(x₀)=0,f’’’(x₀)≠0，那麼(x₀,f(x₀))是f(x)的一個拐點。

例題：甲、乙兩個物體在同一直線上運動，它們的x-t圖象如圖所示，

其中直線b與曲線a相切于點（4s，-15m）.已知甲做勻變速直線運動，下列說法正确的是（）

A.前4s内兩物體的運動方向相同

B.前4s内乙的位移大小為44m

C.t＝0時刻，甲的速度大小為9m/s

D.在t＝4s時，甲的速度大小為2m/s

例題：：汽車從靜止開始做勻加速直線運動，然後刹車做勻減速直線運動，直到停止.下列速度v和位移x的關系圖像中，能描述該過程的是（）

k=△v/△x

=(△v/△t)/(△x/△t)=a/v

4.圖線與坐标軸所圍成的面積的物理含義

面積看y·△x的含義，面積的含義用v-t圖△x=a△t進行類比。

物理圖像中“面積”要有意義的條件是△A＝y△x，“面積”要具有可加性，過程面積具有積分性，狀态面積不具有積分性。

以“1/v-x圖”為例：

猜測“面積”的含義，方法是看單位，“面積”就是相乘，(1/v)·x=x/v，單位就是時間，但隻是一點靠譜，不嚴謹。

由v-t圖“面積”表示位移進行類比，受到啟發，

v·△t=△x，△x即位移，△x具有可加性，因此“面積”表示位移。“面積”看y·△x的含義。

在1/v-x圖中，(1/v)·△x=△x/v=t，

需要指出的是x-1/v圖的面積x·△(1/v)并非表示時間。

6.圖線的增減性

7.拐點的物理含義

例題：x軸上有兩點電荷Q₁和Q₂，二者之間連線上各點的電勢高低如圖中曲線所示.選無窮遠處電勢為零，則從圖中可以看出（AD）

A.Q₁電荷量一定小于Q₂電荷量

B.Q₁和Q₂一定為同号電荷

C.P點的電場強度為零

D.Q₁和Q₂之間連線上各點的場強方向都指向Q₂

8.漸近線的物理含義

漸近線是與圖線無限靠近卻永不相交的直線，表示圖線斜率趨近直線斜率。

例題：如圖為甲、乙兩質點同時沿同一直線運動的位移一時間圖像.關于兩質點的運動情況，下列說法正确的是（）

A.在0～t₀時間内，甲、乙的運動方向相同

B.在0～2t₀時間内，甲的速度一直在減小

C.在0～t₀時間内，乙的速度一直增大

D.在0～2t₀時間内，甲、乙發生的位移不相同

例題：如圖甲所示，兩個帶正電的小球A、B套在一個傾斜的光滑直杆上，兩球均可視為點電荷，其中A球固定，帶電荷量Q4＝2×10⁻⁴C，B球的質量為m＝0.1kg.以A為坐标原點，沿杆向上建立直角坐标系，B球的總勢能随位置x的變化規律如圖乙中曲線I所示，直線Ⅱ為曲線I的漸近線.圖甲中M點離A點距離為6m.（g取10m/s²，靜電力常量k＝9.0×10⁹N·m²/C²）

（1）求杆與水平面間的夾角θ；

（2）求B球的帶電荷量QB；

（3）求M點電勢фM；

（4）若B球以Ek₀＝4J的初動能從M點開始沿杆向上滑動，求B球運動過程中離A球的最近距離及此時B球的加速度；

（5）在圖乙中畫出當B球的電荷量變成-2QB時的總勢能随位置x的變化規律曲線.

9.兩圖線交點的物理含義

10.圖線的特殊點

例題：如圖所示，

在傾角為θ＝30°的長斜面上有一帶風帆的滑塊從靜止開始沿斜面下滑，滑塊的質量為m＝2kg，它與斜面的動摩擦因數為μ，帆受到的空氣阻力與滑塊下滑的速度成正比，即f＝kv.若從靜止開始下滑的速度圖像如圖中的曲線所示，圖中的直線是t＝0時速度圖像的切線，g＝10m/s².

（1）求滑塊下滑的最大加速度和最大速度

（2）求μ和k的值

例題：一輛汽車在十字路口等候綠燈，當綠燈亮時汽車以3m/s²的加速度開始行駛，恰在這時一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從後面超過汽車.

（1）汽車從路口開動後，在追上自行車之前經過多長時間兩車相距最遠？此時距離是多少？

（2）什麼時候汽車追上自行車？此時汽車的速度是多少？

三.圖像的轉化

1.利用物體運動性質轉化

例題：一物體由靜止開始沿直線運動，其加速度随時間變化的規律如圖所示.

取物體開始運動的方向為正方向，分析：物體運動的v-t圖像.

解析：0～1s，物體加速度恒定，做加速運動；1s～2s，物體做減速運動，速度恰好減至0，故圖像如圖.

2.利用導數(斜率)進行轉化

3.利用積分進行轉化

4.利用反函數進行轉化

轉化為反函數的方法有：

①作y=x的對稱圖線

②旋轉坐标軸

5.乘以常量進行轉化

在光滑固定斜面的底端固定一輕質彈簧，一質量為m的小球自斜面上的某一位置靜止釋放，小球在斜面上運動的加速度a與其位移x之間的關系如圖所示.彈簧始終處于彈性限度内，則在此過程中彈簧的最大壓縮量為（√3 1）x₀

面積表示合力的功。

6.非線性與線性相互轉化

例題：一個物體由靜止開始沿一條直線運動，其加速度随時間的倒數的變化規律圖線如圖所示，

a₀和t₀已知，則下列判斷正确的是（B）

A.物體在t₀前做加速度增大的加速運動

B.物體在t₀時刻的速度為a₀t₀

C.物體在t₀時間内速度增加量為a₀t₀/2

D.以上判斷均錯

解：A、由圖知，物體在t₀前加速度不變，做初速度為零的勻加速運動，故A錯誤

B、1/t₀之後加速度不變，則知物體在t₀時刻的速度為a₀t₀.所以B選項是正确的.

C、物體在t₀時間内速度增加量為a₀t₀.故C錯誤，

D、由上知D錯誤.

把a-1/t圖轉化為a-t圖，圖線與t軸圍成的面積表示△v.

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