容斥問題本身存在包容與排斥的一種計數問題，所以我們在處理這一類問題的時候必須要注意扣除掉重複的部分，也要保證沒有遺漏，為了使重疊部分不被重複計算，人們研究出一種新的計數方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某内容中的所有對象的數目先計算出來，然後再把計數時重複計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重複，這種計數的方法稱為容斥原理。那我們接下來就來了解一下基于這種思想下的三者容斥問題的計算公式。

公式一：若條件給出A∩B，A∩C，B∩C，A∩B∩C的值

對于圖中的全集I來說相當于整個圖中所有部分之和，即I=A∪B∪C D(D為非A非B非C的區域)，那麼這裡面我們算得A∪B∪C需要把其A,B,C中重複的區域扣除，如果我們把A,B,C加在一起，其中對于A∩B(① ②)的區域是在A,B中各參與計算一次，需要減一個A∩B，同樣的道理對于A∩C(① ③)，B∩C(① ④)均需要減去一個，對于重複的A∩B∩C(①)在我們把A.B.C加和時計算了三次，在減去A∩B，A∩C，B∩C均包含①區域則又減去三次，要保證沒有遺漏需要在加回一次A∩B∩C，則A∪B∪C=A B C-A∩B-A∩C-B∩C A∩B∩C。

公式總結：A∪B∪C=A B C-A∩B-A∩C-B∩C A∩B∩C

I=A∪B∪C D=A B C-A∩B-A∩C-B∩C A∩B∩C D

公式二：若條件給出包含兩種元素(② ③ ④)和包含三種元素(①)的值

同樣的I=A∪B∪C D，那麼這裡面我們算得A∪B∪C依舊需要把其A,B,C中重複的區域扣除，那麼對于包含兩種元素(② ③ ④)的區域，②在A,B中各加一次，重複一次;③在A,C中各加一次，重複一次;④在B,C中各加一次，重複一次,均重複一次，則需整體減去一倍的包含兩種元素(② ③ ④)，對于重複的包含三種元素(①)在我們把A.B.C加和時計算了三次，則需要減去2倍的包含三種元素(①)，即A∪B∪C=A B C-含有兩種元素-2*含有三種元素

公式總結：A∪B∪C=A B C-含有兩種元素-2*含有三種元素

I=A∪B∪C D=A B C-含有兩種元素-2*含有三種元素 D

【例題】某專業有若幹學生，現開設有甲、乙、丙三門選修課。有40人選修甲課程、36人選修乙課程、30人選修丙課程，兼選甲、乙課程的有28人、兼選甲、丙兩門課程的有26人、兼選乙、丙兩門課程的有24人、甲乙丙三門課程均選的有20人，三門課程均未選的有2人。該專業共有學生多少人?

A.48 B.50 C.52 D.54

解析：題目求解該專業共有多少名學生，即求解全集I，通過題目條件給出兼選甲、乙課程、兼選甲、丙兩門課程、兼選乙、丙兩門課程，兼選甲、乙、丙三門課程的人數，即給出條件A∩B，A∩C，B∩C，A∩B∩C的值，故選用公式一，則I=40 36 30-28-26-24 20 2

根據尾數為0選擇B。

我們在應用容斥問題時一定要注意到題目中所給出的條件，根據條件選取合适的公式計算。

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