垂線段最短是最基礎，但最常用的一個最值模型。許多複雜的最值模型最後會轉化成垂線段最短，例如非常有名的"胡不歸"模型。

文章來源公衆号：初中數學題

※注意和将軍飲馬(兩點間線段最短)的區别！

01 認識模型

直線L外一點A與直線上所有點相連得到的線段中，與L垂直的線段最短。簡稱垂線段最短。

02 确定模型

根據以下特征來确定模型：

①定直線外一個定點A

②定直線上的一個動點P

③求AP的最小值

03 模型原理

直線L外定點A，作AP垂直L。直線上點P外一點P′。

則有AP′>AP，可以根據下面方法證明

①垂線段公理：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

②直角三角形AP′P中斜邊大于直角邊(或大角對大邊)

04 結論

此模型的結論比較簡單(垂線段最短)，一般考察時會加以變化。

我們可以根據動點，定點的位置，通過轉化線段等方法，轉成基本的形式。

05 抽圖訓練

下面舉一些例子，大家練習一下如何轉化成垂線段最短。

例1，已知在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，點P是AB上一動點(不與A、B重合)，過P作PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别是E、F，連結EF，D為EF的中點，則CD的最小值為( )。

分析：點C是定點，動點P在定線段AB上運動，所以CP最小值符合垂線段最短。

※由于EF位置在變化，所以點C與EF上的點D則不符合垂線段最短。

因為是∠C是直角，易知四邊形PECF是矩形，所以CP=2CD，轉化為求CP的最小值。

确認模型：定點C，AB上動點P，求CP最小值。

參照下圖，CP的最小值是△ABC邊AB上的高：3×4÷5=12/5，所以答案：6/5。

例2，線段AB的長為10，C為AB上的一個動點，分别以AC、BC為斜邊在AB的同側作兩個等腰直角△ACD和△BCE，那麼DE長的最小值是( )。

方法一

分析：延長AD與BE交于點P，易知四邊形PDCE是矩形，所以DE=PC，轉化為求CP的最小值。

确認模型：定點P，AB上動點C，求PC最小值。

參照下圖，等腰直角△PAB，易知PC的最小值是5。

方法二

分析：過D作DM垂直AB，過E作EN垂直AB，則DM平行EN，且MN=AB/2，所以DE與AB平行時最短，最小值是MN的長度。所以答案：5。

※從一條平行線上的任意一點，向另一條平行線作垂線，垂線段的長度叫平行線間的距離(本質還是垂線段最短)。平行線間的距離處處相等。

例3，如圖，已知平行四邊形OABC的頂點A、C分别在直線x＝1和x＝4上，O是坐标原點，則對角線OB長的最小值為( )。

分析：點O是定點，點B是動點，想求OB最小值需要先确定點B的軌迹。

由于四邊形OABC是平行四邊形，點O、A、B的橫坐标都固定，易知點B的橫坐标是5，即點B是直線x=5上的動點。

确認模型：定點O，直線x=5上動點B，求OB最小值。

所以最小值是5。

例4，如圖，邊長為6的等邊三角形ABC，對稱軸AD上有一動點E，連接EC，将線段EC繞點C逆時針旋轉60°得到FC，則DF的最小值為( )。

分析：點D是定點，點F是動點，想求OF最小值需要先确定點F的軌迹。

為了快速确定軌迹，利用之前講過的(瓜豆原理 | 幾何模型手冊)

如圖，易知從動點F的運動軌迹與點E一樣是直線CG，且∠CGD=60°。(可以找兩個特殊點确定軌迹直線，例如點C，AD上的點G)

确認模型：定點D，直線CG上動點F，求DF最小值。

在直角三角形CDG中，CD=3，可以求得DG=√3，CG=2√3。所以DF的最小值就是CG上的高，所以答案是：3/2。

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