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向量法求點面距離

生活更新时间:2025-01-25 19:27:25

向量法求點面距離（向量法判斷點與線段的關系）1

如上圖所示，有一點P和線段AB，已知點P的坐标和線段兩個端點（A點和B點）的坐标。

通常會有以下幾個問題：

求線段AP在線段AB上的投影長度；
求點P在線段AB上的投影點的坐标；
判斷點P的投影點是否在線段AB内；
求∠PAB的角度值；
判斷∠PAB是銳角、直角，還是鈍角。

對于上述問題，一種方法是通過幾何三角函數的方法來求解，相對繁瑣複雜一些；而采用向量法，則相對簡潔簡單。

采用向量法，重點是需要理解向量點乘的數學定義和幾何意義。

向量法求點面距離（向量法判斷點與線段的關系）2

向量法求點面距離（向量法判斷點與線段的關系）3

若把cos放到等式左側，這個運算也可以理解為：在點乘運算中，b向量投影到a向量上（或a向量投影到b向量上，兩者相同），然後通過除以它們的标量長度來“标準化”。這個值一定是小于等于1的，可以轉化為一個角度值。

向量法求點面距離（向量法判斷點與線段的關系）4

針對開始提到的五個問題，根據點P、點A、點B的坐标，轉化為對應的向量，即可用向量點乘的幾何意義來求解：

1、即為計算向量b在向量a方向上的投影長度（有正負之分）；

2、有了投影長度，除以向量a的标量長度，即得到點P的投影與線段AB的投影關系r；

若 r < 0：點P的投影點在點A方向上的延長線上；
若 r = 0：點P的投影點即為A點；
若 0 < r < 1：點P的投影點在線段AB内；
若 r = 1：點P的投影點即為B點；
若 r > 1：點P的投影點在點B方向上的延長線上。

3、有了投影關系，再根據點A的坐标，即可求出點P投影點的坐标；

4、∠PAB即為兩個向量之間的夾角；

5、判斷∠PAB是銳角、直角，還是鈍角，隻需根據向量a和b的點乘結果來判斷：

若 > 0：向量a和b的方向相同，∠PAB是銳角；
若 = 0：向量a和b正交，∠PAB是直角；
若 < 0：向量a和b的方向相反，∠PAB是鈍角。

向量法求點面距離（向量法判斷點與線段的關系）5

點P在不同的位置

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