【分析方法導引】

在有關圓的問題中，如果不考慮有關線段之間的數量關系時，就應想到要應用與圓有關的角的基本圖形進行證明。

當幾何問題中出現了同一個圓上的四點時，就可以想到應用圓周角的基本圖形進行證明。接下來就應分析問題中出現的所要研究和讨論的角是出現在圓内接四邊形的内角或外角上，還是出現在同弧所對的圓周角上。若出現在圓内接四邊形的内角或外角上，則添圓内接四邊形的邊而不必連對角線，然後應用對角的互補關系或外角與内對角的等量關系來完成證明。若出現在同弧所對的圓周角上，則添加兩條對角線而不必添一組對邊，然後應用同弧所對圓周角的等量關系完成分析。

當幾何問題中出現了圓的直徑和半圓上的一點或者出現了90°的圓周角時，就可想到要應用半圓上的圓周角的基本圖形進行分析。如有直徑和半圓上的點而沒有圓周角時，應将半圓上的點與直徑的兩端點分别連接；如有90°的圓周角而沒有直徑時，應聯結圓周角的兩邊與圓的交點，而這條連線必定過圓心，也就必定是圓的直徑。接下來就可以應用直角三角形的性質完成分析。

圖4-24

分析：本題要證明HE⊥BC，根據垂線的定義，它們應相交成90°角，所以應首先将它們延長到相交，也即延長HE交BC于K，然後應證∠HKC=90°（如圖4-25）

圖4-25

由條件HF⊥AC，∠HFC=90°，問題就成為應證∠HKC=∠HFC=90°，從而就可應用圓周角的基本圖形的性質進行證明。這樣問題就成為應證H、F、K、C四點共圓，進一步也就是要證∠FHK=∠FCK（如圖4-26）。由于∠FCK是⊙O的一個圓周角，而已知A、B、C、D四點共圓，所以有∠ACB=∠ADB，于是問題又轉化成要證∠FHK=∠ADB。

圖4-26

再由條件F、G分别是AE、DE的中點，是多個中點問題，所以可應用三角形中位線的基本圖形的性質進行證明。由于F、G所在的線段EA、ED有公共端點E，可以組成三角形，所以FG這兩個中點的連線就是三角形的中位線，而現在圖形中是有三角形而沒有中位線，所以應将中位線添上，于是聯結FG（如圖4-27），即可得FG∥AD，那麼又有∠ADB=∠FGE，問題也就成為要證∠FHK=∠FGE，這樣也就要證H、F、E、G四點共圓，而由條件∠HFE=∠HGE=90°，這個性質就可以證明。

圖4-27

例12 如圖4-28，已知：AB、CD是⊙O的直徑，且AB⊥CD，E、F分别是OD、OA上的兩點，OE=OF，BE、DF的延長線交⊙O于H、G，BH、DG相交于K。求證：OK⊥DH。

圖4-28

分析：由條件OE=OF和OE⊥OF，可知OE、OF可組成一個等腰直角三角形或半個正方形。又因為OB=OD、OB⊥OD，所以OB、OD也組成半個正方形。從而就出現了兩個具有公共頂點O的正方形，于是就可應用旋轉型的全等三角形的性質進行證明。根據由公共頂點O發出的四條線段找全等三角形的方法可找到這對全等三角形應是△DFO和△BEO（如圖4-29），于是就有∠ODF=∠OBE。由這兩個角相等就可得B、D、K、O四點共圓，于是就可以應用圓周角的基本圖形的性質進行證明。這樣就可以先将圓内接四邊形添全，也就是聯結BD（如圖4-30），可得∠KBD=∠KOD。但∠KBD是圓周角，而∠KOD是圓心角，這兩個角之間的等量關系就可以轉化為它們所對的弧之間的倍半關系。由于∠KBD所對的弧是弧HD，而∠KOD所對的弧在圖形中尚未出現，這是因為∠KOD的一邊OK尚未與圓相交，所以可根據圓心角的定義延長OK交⊙O于M，得∠KOD所對的弧是弧MD，從而可得弧MD=1/2弧HD，也就是M是弧DH的中點（如圖4-31）。由于在這裡出現了弧的中點的性質，所以再應用垂徑定理，就可以證明OK⊥DH。

圖4-29

圖4-30

圖4-31

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