在描述世間萬物規律的物理定律中，隻有熱力學第二定律讓我确信它永遠不會被推翻。

—— 阿爾伯特·愛因斯坦

熱力學第二定律，既簡明又深奧。物理學家用它解釋自然現象，企業家用它诠釋管理的藝術，社會學家用它解讀人的行為。

那麼，熱力學第二定律及與之緊密相關的“熵”，本質上是什麼呢？本文以易懂而嚴謹的方式，為你解讀熱力學第二定律。

熱力學第二定律的具體表述在曆史上出現過多種，且長相各異。其中，現代學者普遍接受的一種表述如下：

孤立系統的熵隻會随時間流逝增加，而不會減少。

其中，“孤立系統”指不與外界交換能量和質量的系統。

就知道你要問。“熵”是一個不容易搞懂的概念。像“溫度”、“壓強”之類的概念，我們能觸摸或感知到它們，所以容易理解。而熵看不見摸不着，高度抽象，很難準确理解。

直觀地說，熵衡量物體或系統的混亂度。

舉個例子。上圖中左右兩個房間，裡面的陳設幾乎一樣，好比兩個包涵相同物質的系統。左邊的房間明顯較混亂，而右邊的房間更整潔。所以我們可以認為，左邊混亂房間的熵較高，而右邊整潔房間的熵較低。

當然。直觀理解“熵”不足以讓求知欲強的同學滿意，而“混亂度”這個诠釋确實也沒有解決全部問題。那我們就從“熵”這個奇怪的漢字說起吧。

“熵”字來源于我國物理學家胡剛複的靈機一動。

1924年，德國物理學家普朗克來中國講學，作“熱力學第二定律之觀念”的報告。為普朗克翻譯時，胡剛複苦于聽衆難以理解“entropie”這一德語詞，就即興創造了“熵”字翻譯。

“熵”在“商”字左邊加“火”字旁，取“熱量與溫度之商”的意思，來源于德國物理學家魯道夫·克勞修斯（Rudolf Clasius）的定義。

以卡諾熱機為基礎，克勞修斯在1856年推導出下述公式：

其中，Q表示熱量，T表示溫度，S表示熵。△表示增量，所以△S代表熵的增量，△Q代表熱量的增量。克勞修斯推導出的上述公式的含義是，熵的變化量等于熱量變化量與溫度的比值（商）。

克勞修斯是曆史上首位定義熵的科學家。這項定義在熱力學範圍内适用，但也帶來了兩個問題。

其一，克勞修斯隻定義了熵的增量，卻沒有給出一個錨點。比如，什麼情況下，一個系統的熵值是1。克勞修斯的定義沒有給出明确的答案。

其二，這個定義難以直觀诠釋其意義。“熱量變化量”與“溫度”的比值到底是啥，讓觀者如墜五裡雲霧。

問得正是時候，當然需要再給力一點。

1877年，奧地利物理學家路德維希·玻爾茲曼（Ludwig Boltzmann）從統計力學角度給熵以下述新定義：

等式左邊的S表示熵。等式的右邊，Kв是玻爾茲曼常數。ln函數即自然對數。重點來了，這裡的W表示微觀狀态數。具體地說，對于某系統所處的某個特定的宏觀狀态，W是所有符合該宏觀狀态的微觀狀态總數。

關于宏觀狀态與對應的微觀狀态數，老師打一個簡單的比方。比如我們抛擲兩枚硬币，一共可能會出現三種宏觀狀态：兩正面、一正一反、兩反面。

兩正面對應的微觀狀态隻有一種（正正），兩反面對應的微觀狀态也隻有一種（反反），而一正一反對應的微觀狀态有兩種（正反、反正）。

宏觀狀态與其對應的微觀狀态之間有如下的關系：如果系統處于某固定的宏觀狀态，且不受其他因素幹擾，則系統将在所有符合要求的微觀狀态之間切換，并在有限時間内遍曆所有合理的微觀狀态。

以擲硬币為例，當系統處于“一正一反”這個宏觀狀态時，兩枚硬币會自發地在“正反”、“反正”兩種微觀狀态之間反複橫跳；但若沒有外來因素幹擾，則不會跳躍到“正正”或“反反”等狀态。

可以的。這位同學大概是對硬币這個粗糙的例子不滿意，那麼老師就舉一個更精細的例子——圍棋盤與圍棋子。

（本例來源于YouTube頻道 PBS Space Time）

圍棋盤縱橫19道，上有361個交叉點。假設我們有180枚黑子（白子已經被扔到一邊了）。同學們不妨想象，這張棋盤是一方孤立的空間，而180枚棋子好比180個氣體分子。接下來，我們考慮兩種截然不同的宏觀狀态：

宏觀狀态I：180枚棋子比較均勻地分布在棋盤的交叉點上，如下圖所示。

宏觀狀态II：180枚棋子集中分布在棋盤的右半邊，如下圖所示。

在這塊棋盤上，宏觀狀态指棋子的總體分布形态，而微觀狀态指棋子具體的分布方式、每一格交叉點上有或沒有黑子。

我們可以從玻爾茲曼的定義出發，量化地分析與比較這兩種宏觀狀态的差别。方便起見，我們暫且省略公式中的玻爾茲曼常數Kв（省略玻爾茲曼常數并不影響量化分析）。現在，玻爾茲曼熵暫時以此公式定義：

宏觀狀态I，“180枚棋子較均勻地分布在棋盤上”比較常見。用組合數學的公式，我們可以比較準确地估算出，符合宏觀狀态I的微觀狀态共有約10^108種。用公式表示，W（I）=10^108。因此，宏觀狀态I的熵值大約是 ：

宏觀狀态II，“180枚棋子集中分布在棋盤右半邊”比較少見。實際上，隻有棋盤正中間一列的9枚棋子排列狀态不确定。因此，符合宏觀狀态II的微觀狀态隻有92378種。用公式表示，W（II）=92378。因此，宏觀狀态II的熵值大約是 ：

綜上，W（I）>W（II），宏觀狀态Ⅰ對應的微觀狀态總數更多；因此，宏觀狀态I的熵較高，宏觀狀态II的熵較低。

我們用下面這張表格總結圍棋這個案例中，兩種宏觀狀态的差異。

老師知道某位同學又有問題了，那就請提問吧。

好問題。直觀來看，符合某個宏觀狀态的微觀狀态數量越多，該狀态一般也越混亂。

比如上例中宏觀狀态I旗下的微觀狀态

就比宏觀狀态II旗下的微觀狀态

明顯更混亂。

但是，上述直觀理解存在一些例外。比如下圖的“整齊”排列。

這個狀态的熵是較高還是較低呢？

第一感覺來說，此種排列無比整齊，毫不混亂，似乎應該是低熵的狀态。但是，這個微觀狀态其實相對符合宏觀狀态I“180枚棋子較均勻地分布在棋盤上”的描述。

如果把這些棋子想象成氣體分子，那麼從

狀态變化到

狀态所需的能量較小。

而從

狀态變化到

狀态所需的能量較大。

因此，下圖應被視作宏觀狀态I所屬的微觀狀态，其熵較大，接近S（I)=243.1。

從上例可以看出，把“熵”解釋為“混亂度”足夠直觀，但不足夠嚴謹。玻爾茲曼的“微觀狀态數”定義才是對“混亂度”的準确诠釋。

嗯，當然可以。前文我們提到“熵”的兩種量化定義：克勞修斯的“熱量與溫度之商”，與玻爾茲曼的“微觀狀态數”。

這兩種定義理應是相容的，而在熱力學範疇内，确實可以通過數學推導，證實兩種定義等價。不過，如果從信息的角度看待“熵”，不僅可以将上述兩種定義聯系在一起，還可以進一步推廣“熵”這個概念的适用範圍。請同學們考慮下述定義：

熵衡量我們對宏觀狀态的無知程度。

要理解什麼是“無知”程度，我們還是回頭看圍棋盤的例子吧。

請同學們先考慮宏觀狀态I，棋子較均勻分布的宏觀狀态。

我們對宏觀狀态I其實所知甚少——基本上不知道烏雲下棋子的具體分布。棋盤上哪個點有子，哪個點沒有子，幾乎無法判斷。

想要準确了解宏觀狀态I背後具體的微觀狀态是什麼，我們還需要知道棋盤上每一個點的狀态。這幾乎需要361位二進制碼（每一個點，如果是黑子記作1，空點記作0），也就是361比特（bit）¹的信息。

（注解1：bit的翻譯在不同地區有差異。此處筆者譯作比特，請讀者注意勿與byte（字節）混淆。1byte=8bit）

若是宏觀狀态II，棋子集中分布在右半邊的宏觀狀态。

那麼我們對其知之甚多，能幾乎确定對應的微觀狀态——除了棋盤中間的一列不确定。

因此，我們隻需确定棋盤中間19個點的狀态，就可以準确得知宏觀狀态II背後的微觀狀态是什麼。換句話說，我們隻缺不多于19比特（bit）的信息。

根據上例，我們可以總結，所謂對宏觀狀态的“無知”程度，就是确定對應微觀狀态尚欠缺的信息量。欠缺的信息量越多，則這個宏觀狀态的熵也就越高。

嗯…… 可以。

美國數學家克勞德·香農（Claude Shannon）在1948年10月發表論文《通信的數學理論》。這篇大名鼎鼎的論文後來被視為信息論的開山之作。該論文提出了“信息熵”的概念，其定義如下：

這裡的H就是香農定義的信息熵，而W還是微觀狀态數。不難看出，香農的信息熵定義與玻爾茲曼的定義幾乎一樣，隻相差一個常數。

信息熵定義中的對數函數通常以“2”為底數，因為二進制在信息論的實踐中更常見。

以香農的定義計算，棋盤上的宏觀狀态I與宏觀狀态II對應的信息熵如下：

即宏觀狀态I的信息熵是358，而宏觀狀态II的信息熵是16.5. 這與我們之前粗略的估計非常接近，也更精确地衡量我們對宏觀狀态的“無知程度”。

老師把信息熵補充到表格的最後一列，同學們可以據此做總結。

呃…… 能……的吧。

玻爾茲曼對熵的定義，其實采用了一個簡化問題的假設：“各微觀狀态出現的概率相等”。

這條假設在某些情況下合理，在某些情況下不合理。美國物理學家約西亞·威拉德·吉布斯（Josiah Willard Gibbs）在玻爾茲曼定義的基礎上定義了一般情況下的熵，公式如下：

其中，表示各微觀狀态出現的概率。這個熵的定義也被稱為吉布斯熵。

與吉布斯熵相對應，一般情況下的信息熵以下述公式定義：

如果各微觀狀态出現的概率相等，即

那麼

與前述的簡化定義一緻。

本文介紹了五種熵的定義。“熵”起源于熱力學，卻在統計力學那裡找到了自己的歸宿，并啟發了一門全新的學科——信息論。

“混亂度”是對“熵”的良好直觀理解，而微觀狀态數則是對熵更準确的理解。

當同學們正确理解熵，才能真正理解熱力學第二定律，以及熱力學第二定律背後那些更深刻、普遍的道理。

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