如今，圓周率“π”的值已經被計算到了小數點後萬億位。但你知道，在科技并不發達的古代，先輩們都是如何神機妙算的嗎？

最完美的圓

自古以來，“圓”都是讓人最感興趣的幾何圖形之一。天上的日月星辰、眼睛的瞳孔，乃至人類發明的車輪，都和圓密不可分。

春秋戰國時期，墨子給出了圓的定義：“圓，一中同長也。”也就是說圓上的每一點和圓心的距離都相等。因為圓的這種迷人的特性，古今中外有很多人都認為圓是世界上最完美的圖形。受這種觀念的影響，哥白尼在提出日心說時，也認為各個行星是在圓形軌道上圍繞着太陽公轉的—盡管後來證明并非如此。

張衡的粗略結果

在關于圓的問題上，曆史最悠久、最為人津津樂道的莫過于圓周率的計算了。為什麼要計算圓周率呢？比如古人們為了增強木質車輪的耐磨性，要在車輪的外圍包一層鐵皮，那麼他們要剪一塊多長的長條形鐵皮才能将車輪包起來？又比如，古人想做一個圓形的籬笆，将家裡的牲畜圍起來，那麼籬笆的長度應為多少呢？種種與圓有關的問題，都涉及一種計算，那就是當已知圓的直徑時，如何算出圓的周長。這是世界數學史上的一個重要課題。

對圓周率準确值的探尋，就是為“圓的周長是它直徑的多少倍”這個問題尋找答案的過程。最容易想到的方法當然是動手測量，經過多次重複測量之後，人們發現圓的周長大約是它直徑的3倍。《周髀》大概成書于公元前1世紀（唐初改名為《周髀算經》），是中國最早的天文學和數學著作，裡面就記載有“周三徑一”的說法。但是現實中的測量受到測量工具的精度的影響，隻能得出一個粗略結果。

東漢的張衡從研究圓與它的外切正方形的關系着手，得到圓周率的值約為3.162。這個數值比“周三徑一”要準确一些，但也比較粗略。

劉徽的割圓術

生活在三國時期的劉徽認為，用“周三徑一”計算出來的圓周長實際上是圓内接正六邊形的周長，與圓的實際周長相差很多。而如果圓的内接正多邊形的邊數越多，它的形狀就會越接近圓，因此隻要用一個邊數足夠多的正多邊形來“模仿”圓，然後計算這個多邊形的周長，就可以得出更為精準的圓周率近似值。正多邊形的邊數越多，得出的結果就越準确。這個方法被稱為“割圓術”。

劉徽從直徑為2尺（那時的1尺約相當于現在的0.23米）的圓内接正六邊形開始割圓，依次得到正十二邊形、正二十四邊形……，割得越細，正多邊形面積和圓面積之差就越小，用他的原話說是“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。他一直計算到圓的内接正一百九十二邊形，此時得出圓周率的兩個近似值：3.14和3.1416，這是當時世界上最精确的圓周率值。

祖沖之的精确計算

南北朝時期，祖沖之（及他的兒子祖暅）在劉徽的基礎上更進了一步。雖然沒有直接的記載，但一般認為他繼承了劉徽的割圓術，他通過對圓内接正六千一百四十四邊形和正一萬二千二百八十八邊形的面積的計算，精确地得出圓周率在3.1415926和3.1415927之間。

在當時的知識水平和工具條件下，要算出小數點後7位數的精确結果，不僅需要智慧，還需要付出大量的時間和精力，即便在世界數學史的浩渺長河裡，祖沖之的計算也是很了不起的成就。而西方直到差不多1000年後的1424年，才由波斯數學家阿爾·卡西算出六十進制下小數點後的第9位小數，相當于十進制下的第16位小數，算是打破了祖沖之創下的紀錄。祖沖之還求得了圓周率的兩個分數值，一個是“約率”（22/7），另一個是“密率”（355/113），其中密率精确到了小數點後第7位。而約率的值，西方是由德國的奧托和荷蘭的安東尼茲在16世紀末才得到的，比祖沖之晚了1100年。

祖沖之對圓周率數值的精确推算值足以讓他名垂史冊，後人還把“約率”命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。為了紀念祖沖之的功績，1967年，國際天文聯合會把月球上的一座環形山命名為“祖沖之環形山”，将1888号小行星命名為“祖沖之星”。

随着數學和計算技術的飛速發展，如今圓周率的計算結果已經遠遠超出了計算所需要的精度，而發展成為展示計算機運算能力的工具。但我們不應該忘記，在數學的荒蕪時代裡，先輩們為了追求真理所付出的孜孜不倦的努力。

本文來自《少年科學畫報》

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