提要

方程與函數是研究數量關系及變化規律的數學模型，它能從數量關系的角度準确而清晰地認識，描述，把握現實。努力挖掘題目深層隐含地函數及方程的實質，就可以主動地運用函數及方程的數學去解決問題，并能使知識轉化為能力。由于方程和函數的關系密切，它們都是含有未知數的等式，所以它們之間可以互相轉化。

知識全解

一．方程思想的概念

方程是含有未知數的等式，是刻畫現實世界的一個有效模型。方程思想就是把未知量用字母表示，再根據已知量之間的數量關系列出方程（組），從而使問題得以解是重要的數學思想。

用方程思想解題的關鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結論構造方程（組），這種思想在代數，幾何及生活實際中有着廣泛的應用。

二．函數思想的概念

函數是刻畫變量間關系的常用模型。函數思想就是運用運動變換的觀點去觀察、分析和處理問題的思想。函數思想主要用于研究數量間的關系和變化狀态的相關問題，也是重要的數學思想。

函數思想主要是用運動、變化的觀點分析和研究現實中的數量關系，通過問題所提供的數量特征及關系建立函數關系式，然後解決問題。

三．解題策略

值得注意的是，數學思想作為解數學題的指導思想，并不是相對獨立的，利用方程思想解決函數問題或者利用函數思想解決方程問題的情況也時有發生。

類型1 利用函數、方程思想化簡、求值

【點評】本題考查了分式求值問題，解題的關鍵是利用主元法解出關于x的一元二次方程，再代入求值。本題也可以把y看作主元，求出y（用x的代數式表示）後代入求值。

類型2利用函數、方程思想解決實際問題

例2 長城汽車銷售公司5月份銷售某型号汽車。當月該型号汽4的進價為30萬元/輛，若當月銷售量超過5輛時，每多售出1輛，所有售出的汽車進價均降低0.1萬兒/輛。根據市場調查，月銷售量不會突破30台。

(1)設當月該型号汽車的銷售量為x輛（x≤30，且x為整數），實際進價為y萬元/輛，求y與x的函數關系式；

(2)已知該型号汽車的銷售價為32萬元/輛，公司計劃當月銷售利潤為45萬元，那麼該月需要售出多少輛汽車？（注：銷售利潤=銷售價-進價）

【解析】(1)列函數關系式時，應注意分段計價：①當0≤x≤5且x為整數時，y=30；②當6≤x≤30，且x為整數時，y=30-0.1×(x-5)= -0.1x 30.5。

(2)分月售出低于5輛和多于5輛分别求解

(1)①當 0<x≤5且x為整數時，y=30。

②6≤x≤30且x為整數時，y= -0.1x 30.5

(2)若該月售出低于5輛，(32-30)×5<45，不符合題意，因此售出要多于5輛。

設該月銷售x輛，則由題可得：x[32-（-0.1x 30.5）]=45

解得：x1= 15,x2=-30（舍去）

答：該月需要售出15輛汽車．

【點評】本題綜合考查了一次函數和一元二次方程的有關知識，關鍵是将實際問題轉化為數學問題，根據題意，構建一次函數和一元二次方程模型求解。

例3 等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成20cm和36cm兩部分，求這個三角形各邊的長。

【點評】解答本題時要注意分兩種情況求解，以避免漏解。

真題演練

例1 應用方程或函數做出決策

新農村社區改造中，有一部分樓盤要對外銷售，某樓盤共23層，銷售價格如下：第八層樓房售價為4000元/平米，從第八層起每上升一層，每平方米的售價提高50元；反之，樓層每下降一層，每平方米的售價降低30元，已知該樓盤每套樓房面積均為120平米。

若購買者一次性付清所有房款，開發商有兩種優惠方案

方案一：降價8%，另外每套樓房贈送a元裝修基金；

方案二：降價10%，沒有其他贈送。

（1）請寫出售價y（元/平米）與樓層x（1≤x≤23,x取整數）之間的函數關系式；

（2）老王要購買第16層的一套樓房，若他一次性付清購房款，請幫他計算哪種優惠方案更加合算。

【解析】（1）分x≥8及x≤8兩種情況列出函數關系式

（2）列方程求解

(1)當x≥8，x取整數時，y=4000 50（x-8）=3600 50x；

當x≤8，x取整數時，y=4000-30 (8-x) =3760 30x.

(2)當x=16時，y=3600 50×16= 4400，總價= 4400×120 =528000（元）．

方案一：528000×(1 8%)-a；

方案二：528000x（1- 10%）

所以528000×(1—8%) -a=528000×（1- 10%），解得a=10560

所以，當a<10560時，選擇方案二；

當a=10560時，兩種方案均可；

當a>10560時，選擇方案一。

【點評】本題屬決策類問題，根據題意列出函數關系式和方程，為研究、選擇優惠方案提供了具有說服力的依據。

例2 利用方程或函數設計方案

為綠化校園，某校計劃購進A、B兩種樹苗，共21棵。已知A種樹苗每棵90元，B種樹苗每棵70元。設購買B種樹苗x棵，購買兩種樹苗所需費用為y元。

(1)y與x的函數關系式為：

(2)若購買B種樹苗的數量少于A種樹苗的數量，請給出一種費用最省的方案，并求出該方案所需費用。

【解析】(1) y=-20x 1890；

(2)由題意，知x<21-x，解得x< 10.5．

又∵x≥1，∴x的取值範圍是：1≤x≤10且x為整數

由(1)知：對于函數y= -20x 1890，y随x的增大而減小

∴當x=10時，y有最小值：y=-20×10 1890=1690

所以，使費用最省的方案是購買B種樹苗10棵，A種樹苗11棵，所需費用為1690元。

【點評】本題通過建立一次函數模型解最大（或最小）值問題，一般情況下，一次函數的最大（或最小）值隻能在某一線段的兩個端點中的某一端點取得。

例3利用方程或函數思想求解平面圖形問題

如圖所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD上一點，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于點O，且OE=OD,則AP的長為多少？

【點評】勾股定理的數學表達式是一個含有平方關系的等式，求線段的長時，可由此列出方程，運用方程思想分析問題和解決問題。

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