這是1=0.999...系列文章的第三篇，本篇是把上一篇中讨論一個典型錯誤後面的證明内容單獨放到這裡，方便大家閱讀。

同時還增加了一節根據物理學知識的推理。

那麼如何證明0.999...=1，或者0.3333...=1/3呢？

初等數學的證明就不用了，這裡引用幾個極其簡單，但不是那麼嚴謹的證明。

首先，0.333...是序列｛0.3， 0.33，0.333，...｝的極限，或者

0.999...是序列｛0.9， 0.99，0.999，...｝的極限

其次1是0.333...x3的極限，或者0.999...的極限。

根據極限的唯一性，所以1=0.999...

同濟大學版高等數學上冊

假設1≠0.999...之間還有其他的數，那麼1與0.999...的差必然是0.0000...01

但是因為減數有無限多位9，所以差裡也必然有無限多個0，0.000...，無窮多個0，永遠沒有機會寫最後的1，所以這個差隻能是0

這裡估計很多人看了會覺得别扭，反直覺，這是因為實數相等的判定和日常，7=7這樣整數判定方式不同，因為實數是稠密的，完備的，連續的。

實數軸是沒有空隙，任意兩個确定的實數的關系要麼是大于，小于，要麼等于，沒有其他。兩個不相等的實數中間必然還有其他實數，而如果兩個實數之間沒有其它實數了，則他們必然相等。

兩個實數相等的判定，不是“數軸上它們都是第102個點，所以相等”這樣的方式，因為實數是稠密的，連續的，完備的，而是：

你可以想象它們的差是任意一個很小很小很小的正數，注意是任意的。然而不管這個差有多小，如果都還能再找到一個确定的位數N，它們在比較到這個第N位時達到了你給定的這個小差，然後，我都能告訴你，如果繼續接着算到第N位以後，這兩個實數的差比你任意給的那個小差還要小，如果這個小差不管取什麼值都是這樣的結果，那這兩個實數就相等。

簡單說就是，不管你覺得它們的差有多小（确定的有限），我都能告訴你實際比你想的還要小（因為是無限）。

所以，事實并不是如和很多人所想“因為無限接近，它們就肯定不能相等”，這樣樸素的直觀感覺，而是有嚴格邏輯的。而這正是數學無窮小危機已經解決了的問題。

其實無限接近并不是沒達到，而是已經嚴格相等了（見上面的解釋），否則如果達不到的話，阿基裡斯就永遠追不上烏龜了，而事實是在有限的時間内烏龜就被追上了，當然你還可以搬出普朗克，說空間是不連續的，然而實數相等的定義也解決了這個追烏龜問題，文章下面一節會提到一個根據物理知識的推理，讨論一下物理世界裡1如何等于0.999...。

引用網友的證明

現代物理學認為空間和時間都不是無限可分的，不是連續的，而是存在最小的長度，即普朗克長度（數量級為10的-35次方），和最短的時間間隔，即普朗克時間（數量級為10的-43次方）。

假定1≠0.999...

1. 在紙上畫出一段表示數軸的線段，
2. 然後放大0.999...與1之間的差，
3. 當你放大到第35個9與1的差之後，就會發現，表示數軸的那段空間已經不能再細分了，這個時候這段空間0.999...已經和1重和在一起，成為一個點了。這個時候在現實中1與0.999...已經相等了
4. 然後不看空間而再回到數軸上，既然現實不能用了，還能利用頭腦中抽象的思維：數學概念裡，空間是連續的，表示實數軸的那條線是連續的，在這條線上你還可以繼續放大和細分下去。
5. 從第36個9開始，表示1和0.999.的差就已經在現實裡不存在了，而數學上的差比這個“不存在”還要小，而且還能比這個還要小，其他任意還小得多。
6. 這個思路其實與前面實數相等的判斷是一緻的，甚至可以說是一個具體的例子，估計很多人可能沒想到這個任意小來的這麼快，1-0.999...的差，隻數了35個9就遇到現實了這堵高牆。

我知道，無論怎麼講解，還是會有很多人會一直堅信1與0.999...就是不相等，在下一篇文章裡，我會來個簡單粗暴的：

直接告訴你教材裡是如何白紙黑字寫着1就是0.999...

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