證明兩直線垂直的方法有哪些？

1、利用直角三角形中兩銳角之和為90°

由直角三角形的定義與三角形的内角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90° ，即如果一個三角形的有兩個角和為90°，那麼第三個角必然為90°。

2、利用全等三角形

勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那麼這個三角形就是直角三角形。

3、利用勾股定理的逆定理證明

4、利用等腰三角形“三線合一”證明

要證二線垂直，若能證二線之一是等腰三角形的底邊，另一線是等腰三角形頂角的平分線或底邊上的中線，則二線互相垂直。

5、利用菱形的對角線互相垂直證明

6、相似三角形證明

7、圓周角定理的推論：

其中方法1、2 為初一知識點；方法3、4為初二知識點；方法5、6、7為初三知識點。

由于篇幅和時間有限，在本篇文章中，我們先讨論1、2、3、4四種方法。

初中數學課堂

一、利用直角三角形中兩銳角之和為90°

例1、如圖，在平行四邊形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交邊CD于點E，F，線段AE，BF相交于點M．

（1）求證：AE⊥BF；

（2）若EF＝（1/5）AD，則BC：AB的值是　 　．

（1）證明：∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAB ∠ABC＝180°，

∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，

∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF，

∴2∠BAE 2∠ABF＝180°，即∠BAE ∠ABF＝90°，

∴∠AMB＝90°，

∴AE⊥BF；

（2）解：∵在平行四邊形ABCD中，CD∥AB，

∴∠DEA＝∠EAB，

又∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE＝∠EAB，

∴∠DEA＝∠DAE，

∴DE＝AD，同理可得，CF＝BC，

又∵在平行四邊形ABCD中，AD＝BC，

∴DE＝CF，

∴DF＝CE，

∵EF＝（1/5）AD，

∴BC＝AD＝5EF，

∴DE＝5EF，

∴DF＝CE＝4EF，

∴AB＝CD＝9EF，

∴BC：AB＝5：9；

2、利用全等三角形

例2、如圖，正方形ABCD中，點E、F、G分别為邊AB、BC、AD上的中點，連接AF、DE交于點M，連接GM、CG，CG與DE交于點N，則結論①GM⊥CM；②CD＝DM；③四邊形AGCF是平行四邊形；④∠CMD＝∠AGM中正确的有（　　）個．

A．1 B．2 C．3 D．4

解：∵AG∥FC且AG＝FC，

∴四邊形AGCF為平行四邊形，故③正确；

∴∠GAF＝∠FCG＝∠DGC，∠AMN＝∠GND

在△ADE和△BAF中，

∵AE=BF, ∠DAE=∠ABF ,AD=AB

∴△ADE≌△BAF（SAS），

∴∠ADE＝∠BAF，

∵∠ADE ∠AEM＝90°

∴∠EAM ∠AEM＝90°

∴∠AME＝90°

∴∠GND＝90°

∴∠DE⊥AF，DE⊥CG．

∵G點為AD中點，

∴GN為△ADM的中位線，

即CG為DM的垂直平分線，

∴GM＝GD，CD＝CM，故②錯誤；

在△GDC和△GMC中，

∵DG=MG，CD=CM，CG=CG

∴△GDC≌△GMC（SSS），

∴∠CDG＝∠CMG＝90°，

∠MGC＝∠DGC，

∴GM⊥CM，故①正确；

∵∠CDG＝∠CMG＝90°，

∴G、D、C、M四點共圓，

∴∠AGM＝∠DCM，

∵CD＝CM，

∴∠CMD＝∠CDM，

在Rt△AMD中，∠AMD＝90°，

∴DM＜AD，

∴DM＜CD，

∴∠DMC≠∠DCM，

∴∠CMD≠∠AGM，故④錯誤．

故選：B．

3、利用勾股定理的逆定理證明

4、利用等腰三角形“三線合一”證明

例4、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36，BD是∠ABC的平分線，交AC于點D，E是AB的中點，連接ED并延長，交BC的延長線于點F，連接AF，求證：

（1）EF⊥AB；

（2）△ACF為等腰三角形

證明：（1）∵AB=AC ，∠BAC=36

∴∠ABC=72 ,BD是∠ABC的平分線

∴∠ABD=36

∴DA=DB

又∵E是AB的中點

∴EF⊥AB

（2）由（1）知BF是AB的垂直平分線

∴FA=FB

∴∠ABF=∠FAB=72

∴∠FAC=72-36=36

∠AFC=72-36=36（外角定理）

∴△ACF為等腰三角形

證明兩直線垂直的方法（上篇），由于篇幅和時間有限，今天就介紹到這裡，歡迎大家繼續關注，證明兩直線垂直的方法（下篇）

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!