本文轉自微信公衆号接地氣數學

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上回說到高數的特點, 今天舉一個簡單的例子讓大家感受一下. 看下面的定義:

看了這個定義以後, 一個正常的心理是這樣的:

别急, 聽我細細道來. 其實這個定義說的是特别簡單的一件事, 就是當n趨于無限大時, 這個數列的數無限接近于A的意思. 舉個粟子, 對于數列

我寫出它的前幾項:

2, 1.25, 1.1111, 1.0625, 1.04,

1.02778, 1.0104, 1.015625, ...

看, 這些數是不是無限接近于1呢? 你也可以多算幾項, 這個規律更明顯. 所以在這個粟子中, 我們可以說: 這個數列的極限是1.

接下來有兩個内容:

●為什麼要用這麼複雜的方式來定義這麼簡單的一件事

●這個定義該怎麼理解

基于你們更喜歡聽故事, 就先說說為什麼要采用這個複雜的定義.

01

為什麼要用這麼複雜的定義呢?

是啊, 這麼難理解, 為什麼我們不這樣定義呢:

若一個數列的項無限接近于A, 則稱A是這個數列的極限.

這樣多好理解啊!

這要追溯到17世紀. 當時, 牛頓等一大批歐洲數學家大力發展了一套數學方法, 這套方法包括了極限和微積分等工具. 數學的這一次突破在人類曆史上具有非常重要的意義, 直接導緻了随後的工業革命. 可以說我們現在生活在的各種便利, 生産力的各種強大, 對其他動物的各種優勢, 都離不開那一次數學上的突破.

在這部分數學發展的初期, 各種定義就是怎麼直觀怎麼來的. 但是這樣帶來了很多不嚴謹. 例如上面的定義, "無限趨于"這個詞, 就是很含糊的, 或者說, 不夠精确. 本來這也沒什麼, 反正 大家都知道是什麼, 能夠計算就行了. 但是後來, 牛頓的同胞, 英國的一個大主教, 喬治·貝克萊, 為了維護神學, 抨擊數學, 利用了當時數學當中的很多不嚴謹定義, 找到了很多要害. 他收集了很多這些問題, 專門寫了一本書, 書名很長, 叫做

《分析學家；或一篇緻一位不信神數學家的論文，其中審查一下近代分析學的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點有更清晰的表達，或更明顯的推理》

那個不信神數學家指的就是牛頓, 牛頓是當時數學界的代表人物, 分析學就是指這套新發展的數學理論. 這個書名我翻譯成人話, 就是

你們這些分析學家啊, 還好意思說我們神學太神秘, 故弄玄虛, 看, 你們的分析學又好到哪裡去? 我看了下你們的理論, 随便就發現很多問題了, 都夠寫成一本書了. 你們數學也是在故弄玄虛, 憑什麼不信我們神學! 你們啊, 拿衣服!

新鮮事物的發展肯定不是那麼容易被接受的. 貝克萊主教雖然是神學人物, 但是書中的批評卻切中了要害. 很多數學家謊了, 感覺到數學的基礎出現了問題, 就好像大廈的地基沒打好, 數學的大廈搖搖欲墜. 數學史上稱貝克萊主教提出的問題為"貝克萊悖論", 對數學的沖擊稱為"第二次數學危機".

那麼, 數學是不是就落敗了呢? 沒有, 這個事件(以及其他一些事)讓數學家認識到了, 各種定義不能像以前那樣亂來了, 必須嚴謹化. 于是, 在柯西等人的努力下, 數學概念都用嚴謹的方式表示出來, 從此數學成為了最嚴謹的學科. 于是, 數列的極限就變成了一開始那樣定義了. 貝克萊們再也沒有辦法從這個角度攻擊數學了.

總結一下, 為什麼要這麼晦澀地定義數列的極限, 是因為:

嚴謹

否則數學的根基會不牢固, 會出現很多問題.

貝克萊主教的目的雖然是抨擊數學, 但是客觀上也促進了數學的發展, 因此, 數學史上應該有他的名字.

02

怎麼理解這個定義?

這部分估計看的人不會多, 我就随便說說吧. 主要理解一下"無限接近"是怎麼體現出來的.

"無限接近", 就是"要多接近有多接近"的意思, 相差很小就"接近"的意思了, 相差再小都可以, 就是"無限接近"了.

首先把粟子中的數列化簡為

好, 我想說明這個數列的極限是1. 要無限接近于1吧, 好, 你要多接近? 相差0.01? 在第10項之後, 這個數列的每一項都和1相差小于0.01. 也就是:

嫌不夠接近嗎? 好, 相差0.001也行, 32項之後就是:

經過嚴謹的推理, 可以得出一個結論: 不管相差得再小, 總能夠在某一項之後實現, 也就是說不夠再小的正數ε, 都能找到一個N, 在第N 項之後, 相差小于ε.

看, 這不就是本文一開始的定義嗎? 所以說, 這個定義既嚴謹又準确地把數列的極限描述出來了.

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