圓面積的公式和圓周長的公式?點上方好玩的數學可加關注帶你走進一個不一樣的數學世界，今天小編就來聊一聊關于圓面積的公式和圓周長的公式?接下來我們就一起去研究一下吧!

圓面積的公式和圓周長的公式

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圓形簡單、對稱、精緻。但是我們到底要怎樣去度量它呢？就這個問題而言，其實質是我們要怎樣去度量彎曲的形狀。

關于圓形，我們需要注意的第一件事情是，圓上的任意一點距離圓心的距離都相等。畢竟，隻有這樣它才能夠成為一個圓。圓上的任意一點距離圓心的距離，我們稱之為圓的半徑。由于所有的圓其形狀都相同，因此隻有半徑能夠使一個圓區别于另外一個圓。圓的周長，我們稱之為圓周（circumference，拉丁語“随身攜帶”的意思）。我想，對于圓而言，最自然的度量便是其面積和圓周。

讓我們從做一些近似開始吧。如果我們在圓上放置一定數目的等距離的點，然後連接各點，由此我們就會得到一個正多邊形。

這個正多邊形的面積和周長的值比圓的相應值要小一些，但這兩對值相當接近。如果我們放置更多的點，則可以使這兩對值更加接近。假定我們所使用的點的數目很大，比方說為n。于是，我們就得到一個正 n邊形，且其面積和周長與圓的真實面積和周長非常接近。關鍵的一點是，随着正 n邊形邊數的增多，正n邊形也會越來越近似于圓。那麼，此正多邊形的面積又是多少呢？讓我們将它切分成 n個相同的三角形吧。

這樣，每個三角形的底邊長度就等于正多邊形的邊長，令其為 s。而三角形的高度則是從圓心到正多邊形邊的距離，我們稱該高度為 h。因此，每個三角形的面積為1/2hs，而正多邊形的面積則為1/2hsn。注意到 sn正好是正多邊形的周長，因此我們可以得出如下等式：

其中的 p為正多邊形的周長。就這樣，使用周長和圓心到邊長的距離，我們将正多邊形的面積精确地表示了出來。

然而，随着邊數 n無限地增大，情況又會怎樣呢？顯然，正多邊形的周長 p将會和圓的周長 C越來越接近，而高度 h也将會逼近圓的半徑r。這說明正多邊形的面積必然會逼近1/2rC，而同時正多邊形的面積也一直在逼近圓的真實面積 A。那麼，唯一的結論隻可能是，這兩個數值必然相等，即

這表明，圓的面積剛好等于半徑與圓周的乘積的一半。

一種思考該結論的好方法是，設想将圓周展開成一條直線，則該直線和圓的半徑剛好形成一個直角三角形。

我們所得出的公式表明，圓形所占據的面積剛好和這個直角三角形的面積相等。

這裡，有一種很重要的方法。僅僅通過做一些近似，我們就不經意地得出了圓的面積的精确表示。關鍵的一點是，我們并不隻是做了幾個精确程度很高的近似，而是做了無窮多個近似。我們構造了一個精确程度越來越高的無窮近似序列，這無窮多個近似已經足以讓我們看出其中的模式并得到它們的極限。換句話說，我們可以從一個有模式的無窮近似序列中得知真理。因此，将這視為迄今為止人類所産生的最偉大的想法，是有一定道理的。

這種奇妙的方法，我們一般稱之為窮竭法，它是由古希臘數學家歐多克索斯（Eudoxus，柏拉圖的一位學生）于公元前 370年左右發明的。它讓我們可以通過構造無窮的直線近似序列來度量彎曲的形狀。運用窮竭法構造無窮近似序列的訣竅是，所構造出的無窮序列必須具有某種模式——一個無窮的随機數序列并不能告訴我們什麼有價值的信息。因此，隻有一個無窮的序列是不夠的，我們還必須能夠發現其中的模式從而理解該序列。

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現在，我們已經用圓周将圓的面積表示了出來。但圓周是否也可以度量呢？對正方形而言，用相對于邊長的比例來度量周長是很自然的，即四周的長度與一條邊長的比值。同樣，對于圓，我們也可以采用這樣的方法。通過圓心的直線與圓的兩個交點之間的距離，我們稱之為圓的直徑（顯然直徑正好是半徑的兩倍）。因此，對圓來說，類似的度量将會是圓周與直徑的比值，即圓周率。由于所有的圓其形狀都相同，

因此，對每一個圓來說，該比值都是相等的。通常，我們使用希臘字母 pi 或 π來表示該比值。π對于圓的意義，正與4對于正方形的意義相同。

要對π的取值做一些近似并不是很困難。例如，假定我們在圓中放入一個内接正六邊形。

此正六邊形的周長正好是圓的直徑的三倍。由于圓周比此正六邊形的周長要長一些，因此，我們得出π的取值要比 3大一些。如果使用邊數更多的正多邊形，那麼我們将會得到精确程度更高的近似值。阿基米德（生活于公元前 250年左右）就曾使用正 96邊形，得出了π≈22/7。許多人都有這樣的錯覺，以為這是一個嚴格的等式，但實際上它并不是。π的真實取值要稍微小一點，一個相對精确的近似值是π≈3.1416，一個更精确的近似值π≈355/113，這個近似值由五世紀時的中國人（祖沖之，小編注）給出。

但是， π的精确取值到底是多少呢？很遺憾，關于該取值的消息相當糟糕。由于 π是無理數（該性質由蘭伯特于 1768年證明），因此，我們不可能将它表示為兩個整數的比值。特别是，想要将直徑和圓周都表示為同一個計量單位的整數倍，則是絕對不可能的。

實際上，我們面臨的情況要比處理正方形的對角線時所遇到的情況更糟。雖然√2也是無理數，但我們至少可以這樣表述它，即“其平方為2的數”。換句話說，我們可以使用整數的算術來表達√2所滿足的關系式，即它是這樣的一個數 x，滿足 x² = 2。我們雖然也不知道√2的取值到底是多少，但我們知道它的性質。

結果表明，π有着不同的情況。它不僅不能夠用分數表示，事實上，它也不能滿足任何的代數關系。π有什麼用呢？除了表示圓周率之外，其實它并沒有什麼别的作用。π就是π。像π這樣的數，我們稱之為超越數（transcendental，拉丁語“超出”的意思）。超越數（它們的數目有很多）根本就超出了代數所具有的表達能力。林德曼于 1882年證明了 π是一個超越數。這真的很神奇，我們居然還能夠知道像超越數這樣的數。

然而，另一方面，數學家們也發現了不少π的其他表示方法。比如萊布尼茨于 1674年發現了如下的公式：

這裡的想法是，随着公式右邊相加項數的增多，其相加之和也會越來越接近公式左邊的數值。因此， π可以表示為無窮項之和。該公式至少向我們提供了 π的純數值表示，而且在哲學上它也非常的有趣。更重要的是，這樣的表示就是我們所能得出的全部。

以上就是故事的全部。圓周和直徑的比值是 π。然而，對于這樣的比值，我們卻無能為力。我們所能做的，隻能是将它加入從而擴展我們的語言。

特别地，半徑為 1的圓，其直徑為 2，因此其圓周為 2π。該圓的面積是半徑與圓周乘積的一半，亦即正好是π。将該圓按比例 r放大，由此我們得到一個半徑為 r的圓，其圓周和面積可由下列公式得出：

C=2πr

A=πr²

值得注意的是，上述第一個公式實際上并無實質内容，它隻不過是π的定義的重新表述。第二個公式才真正地有深刻的内容，它和我們在前一節中所得的結果等價，即圓的面積等于其半徑與圓周乘積的一半。

* 本文摘自《度量：一首獻給數學的情歌》P57-63，内容有删改，标題為編者所加，經授權刊登。

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