這一講，我将向大家介紹第6卷“相似圖形”中的命題16-命題20是如何證明的，這5個命題分别證明了以下結論：

命題16：若四條線段成比例，那麼兩外項形成的矩形面積等于兩内項形成的矩形面積。若兩外項形成的矩形面積等于兩内項形成的矩形面積，那麼這四條線段成比例。

命題17:若三條線段成比例，那麼由兩外項構成的矩形面積等于中項上的正方形面積。若由兩外項構成的矩形面積等于中項上的正方形面積，那麼這三條線段成比例。

命題18：在給定線段上作一個直線形，使該圖形與給定直線圖形相似，且有相似的位置。

命題19：相似三角形面積之比等于其對應邊的二次比。

命題 20:兩個相似的多邊形被分割為相等數量的相似三角形，對應三角形間的面積比與原圖形的面積比一緻，且多邊形間的面積比等于對應邊的二次比。

以下是這5個命題的證明過程：

情形一:

設AB、CD、E、F為四條成比例的線段，即AB比CD等于E比F。

目标:證明由AB、F構成的矩形面積等于由CD、E構成的矩形面積。

​證明:

1、過點A、C分别作AG、CH與AB、CD成直角【第1卷 命題11】。且AG等于F，CH等于E【第1卷 命題 3】。

2、作平行四邊形BG、DH成補形。

3、因為AB比CD等于E比F，E等于CH，F等于AG，所以AB比CD等于CH比AG。

4、于是在平行四邊形BG、DH中，夾等角的邊互成反比。

5、又在兩個等角平行四邊形中，若夾等角的邊互成反比，則平行四邊形面積相等【第6卷 命題14】，所以平行四邊形BG的面積等于平行四邊形DH的面積。

6、因為AG等于F，所以BG是由AB、F組成的矩形。因為E等于CH，所以DH是由CD、E組成的矩形。所以由AB、F組成的矩形面積等于由CD、E構成的矩形面積。

7、因為AG等于F，所以BG是由AB、F組成的矩形。因為E等于CH，所以DH是由CD、E組成的矩形。所以由AB、F組成的矩形面積等于由CD、E構成的矩形面積。

情形二:

另設由AB、F構成的矩形面積等于由CD、E構成的矩形面積。

目标:證明這四條線段成比例，即AB比CD等于E比F。

​證明:

7、在作圖不變的情況下，由AB、F構成的矩形面積等于由 CD、E構成的矩形面積。

8、因為AG等于F，所以BG是由AB、F構成的矩形;因為CH等于E，所以DH是CD、E構成的形。所以，矩形BG的面積等于矩形DH的面積，且二者等角。

9、在面積相等且等角的平行四邊形中，夾等角的邊互成反比【第6卷 命題14】，所以AB比CD等于CH比AG。

10、因為CH等于E，AG等于F，所以AB比CD等于E比F。

11、綜上，若四條線段成比例，那麼兩外項形成的矩形面積等于兩内項形成的矩形面積。若兩外項形成的矩形面積等于兩内項形成的矩形面積，那麼這四條線段成比例。

情形一:

設A、B、C為三條成比例的線段，即A比B等于B比C。

目标:證明由A、C為邊構成的矩形面積等于B上的正方形面積。

證明:

1、作D等于B【第1卷 命題3】。

2、因為A比B等于B比C，B等于D，所以A比B等于D比C。

3、若四條線段成比例，那麼兩外項構成的矩形面積等于兩中項構成的矩形面積【第6卷 命題16】。因此，由A、C構成的矩形面積等于由B、D構成的矩形面積。

說明:該步驟運用了第6卷命題16的結論:

①如果有a、b、c、d四條線段成比例，即a/b=c/d，那麼由線段a、d為邊圍成的矩形面積等于由線段b、c為邊圍成的矩形面積。

②如果由線段a、d為邊圍成的矩形面積等于由線段b、c為邊圍成的矩形面積，那麼a/b=c/d。

4、因為B等于D，所以由B、D構成的矩形是B上的正方形。所以，由A、C為邊構成的矩形面積等于B上的正方形面積。​

情形二:

另設由A、C構成的矩形面積等于B上的正方形面積。

目标:證明A比B等于B比C。

​證明:

5、在作圖不變的情況下，由A、C構成的矩形面積等于B上的正方形面積。

6、因為B等于D，所以B上的正方形面積是由B、D構成的矩形面積。

7、因此，由A、C構成的矩形面積等于由B、D構成的矩形面積。

8、若兩外項構成的矩形面積等于兩中項構成的矩形面積，那麼這四條線段成比例【第6卷 命題16】。所以A比B等于D比C。

說明:該步驟運用了第6卷命題16的結論:

①如果有a、b、c、d四條線段成比例，即a/b=c/d，那麼以線段a、d圍成的矩形面積等于以線段b、c圍成的矩形面積。

②如果以線段a、d圍成的矩形面積等于以線段b、c圍成的矩形面積，那麼a/b=c/d。

9、又因為B等于D，所以A比B等于B比C。

10、綜上，若三條線段成比例，那麼由兩外項構成的矩形面積等于中項上的正方形面積。若由兩外項構成的矩形面積等于中項上的正方形面積，那麼這三條線段成比例。

設AB為給定線段，CE為給定直線形。

目标:在線段AB上作一個直線形，使該圖形與CE 相似，且有相似的位置。

證明:

1、連接DF，分别過點A、B在線段AB上作角GAB等于C點處的角、角ABG等于角CDF。【第1卷 命題23】

2、由此，餘下的角CFD等于角AGB【第1卷 命題32】。所以，三角形FCD與三角形GAB的各角相等。

3、所以FD比BG等于FC比GA，又等于CD比AB。【第6卷 命題4】

4、另，分别過點G、B在線段BG上作角BGH等于角DFE、角GBH等于角FDE。【第1卷 命題23】

5、因此，餘下的E點處的角等于H點處的角【第1卷 命題32】;所以，三角形FDE與三角形BGH的各角相等。

6、所以FD比GB等于FE比GH，又等于ED比HB。【第6卷 命題4】

7、因為已經證明了FD比GB等于FC比GA，又等于CD比AB，所以，FC比AG等于CD比AB，又等于FE比GH，又等于ED比HB。

8、因為角CFD等于角AGB，角DFE等于角BGH，所以角CFE等于角AGH。

9、同理，角CDE等于角ABH。

10、因為C點的角等于A點處的角，E點處的角等于H點處的角，所以直線形AH與直線形CE的各角相等。

11、又因為這兩個圖形夾等角的邊成比例，所以直線形AH相似于直線形CE。【第6卷 定義1】

說明:該步驟運用了第6卷中定義1的結論:

定義1:相似的直線圖形，各角對應相等且夾等角的邊成比例。

12、綜上，給定線段AB上的直線形AH，與給定直線形CE相似，且有相似的位置。

設三角形ABC、三角形DEF為相似三角形，B點處的角等于E點處的角，AB比BC等于DE比EF，因此BC對應EF。

目标:證明三角形ABC與三角形DEF的面積之比等于BC與EF的二次比。

證明:

1、作BC、EF的第三比例項BG，于是BC比EF等于EF比BG。【第6卷 命題11】

2、連接AG。因為AB比BC等于DE比EF，所以AB比DE等于BC比EF。【第5卷 命題16】

說明:該步驟運用了第5卷中命題16的結論:

如果a/b=c/d，那麼a/c=b/d 。

3、又BC比EF等于EF比BG，所以AB比DE等于EF比BG。

4、所以，對于三角形ABG、三角形DEF來說，其夾等角的邊成反比，這些三角形中有一對角相等，且夾該等角的邊互成反比，那麼這些三角形面積相等【第6卷 命題15】。所以三角形ABG面積等于三角形DEF面積。

5、又因為BC比EF等于EF比BG，若三條線段成比例，那麼第一條與第三條之比等于第一條與第二條的二次比【第5卷 定義9】，因此，BC與BG的比等于BC與EF的二次比。

說明:該步驟運用了第5卷中定義9的結論:

如果有三個量α、β、γ成比例，即α/β=β/γ,那麼α與γ之比是α與β的二次比，用公式表達就是α/γ=（α/β）²。

6、因為BC比BG等于三角形ABC的面積比三角形ABG的面積【第6卷 命題1】，所以三角形ABC與三角形ABG的面積比等于邊BC與邊EF的二次比。

說明:該步驟運用了第6卷中命題1的結論:

等高三角形或者平行四邊形面積之比等于底邊之比。

7、因為三角形ABG的面積等于三角形DEF的面積，所以三角形ABC與三角形DEF的面積比等于邊BC與邊EF的二次比。

8、綜上，相似三角形面積之比等于其對應邊的二次比。

命題19推論:由此得出，如果三條線段成比例，那麼第一條線段與第三條線段的比等于第一條線段上的圖形與第二條線段上的與其相似且有相似位置的圖形的面積比。

說明:為了便于大家理解命題19推論的意思，我還是以命題19中的圖形進行解釋說明:

①推論中說的第一條線段為BC，第二條線段為EF，第三條線段為BG。

②BC/BG=△ABC的面積/△ABG的面積。

③步驟4中已經證明了△ABG的面積等于△DEF的面積，所以BC/BG=△ABC的面積/△DEF的面積。

④而△ABC的面積為第一條線段BC上的圖形面積，△DEF的面積的面積為第三條線段BG上的圖形面積。

⑤所以推論的意思是，如果BC/EF=EF/BG，那麼BC/BG=△ABC的面積/△DEF的面積。

已知多邊形ABCDE與多邊形FGHKL是相似多邊形，AB的對應邊為FG。

目标:證明多邊形ABCDE與多邊形FGHKL被分為等量的相似三角形後，三角形之間的面積比與原圖形的面積比一緻，且多邊形ABCDE與多邊形FGHKL面積之比等于AB與FG的二次比。

​證明:

1、連接BE、EC、GL、LH。

2、因為多邊形ABCDE與多邊形FGHKL相似，所以角BAE等于角GFL，BA比AE等于GF比FL。【第6卷 定義1】

說明:該步驟運用了第6卷中定義1的結論:

定義1:相似的直線圖形，各角對應相等且夾等角的邊成比例。

3、因為三角形ABE和三角形FGL有一個角相等，且夾等角的邊成比例，所以三角形ABE與三角形FGL的各角相等【第6卷 命題6】。所以，這兩個三角形相似【第6卷 命題4、第6卷 定義 1】。因此角ABE等于角FGL。

說明:該步驟運用了第6卷中命題6以及命題4的結論:

命題6:如果兩個三角形有一個角相等，且夾該等角的邊成比例，那麼這兩個三角形各角對應相等。

命題4:如果兩個三角形各角相等，那麼等角所對應的邊成比例。

4、因為兩個多邊形相似，所以角ABC等于角FGH。所以角EBC等于角LGH。

5、因為三角形ABE、FGL相似，所以EB比BA等于LG比GF。

6、又因為兩個多邊形相似，所以AB比BC等于FG比GH，因此，可得首末比，EB比BC等于LG比GH【第5卷 命題22】，且夾等角EBC、LGH的邊成比例。因此，三角形EBC與三角形LGH的各角相等【第6卷 命題6】。因此，三角形EBC與三角形 LGH 相似。【第6卷 命題 4、第6卷 定義 1】

說明:該步驟運用了第5卷中命題22的結論:

有a、b、c與d、e、f兩組量，如果a/b=d/e，b/c=e/f，那麼a/c=d/f。

7、同理，三角形ECD與三角形LHK也相似。綜上，相似多邊形ABCDE與FGHKL被分為相同數量的相似三角形。

​

8、連接AC、FH，因為兩個多邊形相似，所以角ABC等于角FGH，AB比BC等于FG比GH，所以三角形ABC與三角形FGH的各角相等【第6卷 命題6】，所以角BAC等于角GFH，角BCA等于角GHF。

9、因為角BAM等于GFN，角ABM等于角FGN，所以角AMB等于角FNG【第1卷 命題32】。因此，三角形ABM與角形FGN的各角相等。

10、同理可證，三角形BMC與三角形GNH的各角相等。

11、因此，可得比例，AM比MB等于FN比NG，BM比MC等于GN比NH【第6卷 命題4】。因此，可得首末比，AM比MC等于FN比NH。【第5卷 命題22】

12、因為等高三角形的面積比等于其底邊的比，所以AM比MC等于三角形ABM的面積比三角形MBC的面積，等于三角形AME的面積比三角形EMC的面積【第6卷 命題1】。

13、一個前項比一個後項,等于所有前項的和比所有後項的和【第5卷 命題12】。因此，三角形AMB的面積比三角形BMC的面積等于三角形ABE的面積比三角形CBE的面積。

說明:該步驟運用了第5卷中命題12的結論:

如果a/b=c/d=e/f，那麼a/b=(a c e)/(b d f)

14、而三角形AMB的面積比三角形BMC的面積等于AM比MC，所以AM比MC等于三角形ABE的面積比三角形EBC的面積。同理，FN比NH等于三角形FGL的面積比三角形GLH的面積。

15、因為AM比MC等于FN比NH，所以三角形ABE的面積比三角形BEC的面積等于三角形FGL的面積比三角形GLH的面積，可得其更比例，三角形ABE的面積比三角形FGL的面積等于三角形BEC的面積比三角形GLH的面積【第5卷 命題16】。

說明:該步驟運用了第5卷中命題16的結論:

如果a/b=c/d，那麼a/c=b/d。

​16、同理可證，連接 BD、GK，三角形BEC的面積比三角形LGH的面積等于三角形ECD的面積比三角形LHK的面積。

17、因為三角形ABE的面積比三角形FGL的面積等于三角形EBC的面積比三角形LGH的面積，又等于三角形ECD的面積比三角形LHK的面積，所以一個前項比一個對應的後項，等于所有前項的和比所有後項的和【第5卷 命題12】，所以三角形 ABE的面積比三角形FGL的面積等于多邊形ABCDE的面積比多邊形FGHKL的面積。

18、因為相似三角形的面積比等于其對應邊的二次比【第6卷 命題19】，所以三角形ABE與三角形FGL的面積比等于對應邊AB與FG的二次比。因此，多邊形ABCDE與多邊形FGHKL的面積比等于對應邊AB與FG的二次比。

19、綜上，兩個相似的多邊形被分割為相等數量的相似三角形，對應三角形間的面積比與原圖形間的面積比一緻，且多邊形間的面積比等于對應邊的二次比。

命題20推論:同理可證，對于四邊形來說，其面積比也等于其對應邊的二次比。已證明了此結論對三角形也适用。因此，一般情況下，相似直線形的面積比等于其對應邊的二次比。

好了，這一講就到這裡了。

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