這是在今日頭條上看到的和圓有關的幾何題。
已知圓内接四邊形各邊的長,求一條對角線的長。
幾何題
顯然∠A ∠C=180°。高中學生用餘弦定理可以快速做出。
BD²=3² 2²-12cos∠A
=4² 2²-16cos(180°-∠A),
13-12cos∠A=20 16cos∠A,
cos∠A=-1/4。
BD²=3² 2²-12cos∠A
=13 12×(1/4)=16,BD=4。
現在來研究用幾何方法解題。
因為AD=CD,∠ABD=∠CBD,BD是角平分線。作DE⊥BC,DF⊥AB。
作輔助線
∵△BDE≌△BDF,∴BE=BF。
∵△ADF≌△CDE,∴AF=CE。
設AF=CE=x,則4-x=3 x,x=1/2。
BE=4-1/2=7/2。
DE²=CD²-CE²=4-1/4=15/4。
BD²=BE² DE²=(7/2)² 15/4=64/4=16,
BD=4。
我們再來看老師的解答。
老師是用旋轉法做出一個等腰三角形,這也是一種常用的方法。隻要兩條相鄰的邊長度相等,對角之和是180°,就可以旋轉成等腰三角形。
老師的解答
現在留一個問題給大家思考:求出了對角線BD的長度,怎樣求另一條對角線AC的長度呢?
這裡是輕松簡單學數學,獨立解題,互相學習。
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