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四邊形對角線求三角形面積

生活更新时间:2024-11-24 14:21:45

這是在今日頭條上看到的和圓有關的幾何題。

已知圓内接四邊形各邊的長，求一條對角線的長。

四邊形對角線求三角形面積（求圓内接四邊形的對角線）1

幾何題

顯然∠A ∠C=180°。高中學生用餘弦定理可以快速做出。

BD²=3² 2²-12cos∠A

=4² 2²-16cos(180°-∠A)，

13-12cos∠A=20 16cos∠A，

cos∠A=-1/4。

BD²=3² 2²-12cos∠A

=13 12×(1/4)=16，BD=4。

現在來研究用幾何方法解題。

因為AD=CD，∠ABD=∠CBD，BD是角平分線。作DE⊥BC，DF⊥AB。

四邊形對角線求三角形面積（求圓内接四邊形的對角線）2

作輔助線

∵△BDE≌△BDF，∴BE=BF。

∵△ADF≌△CDE，∴AF=CE。

設AF=CE=x，則4-x=3 x，x=1/2。

BE=4-1/2=7/2。

DE²=CD²-CE²=4-1/4=15/4。

BD²=BE² DE²=(7/2)² 15/4=64/4=16，

BD=4。

我們再來看老師的解答。

老師是用旋轉法做出一個等腰三角形，這也是一種常用的方法。隻要兩條相鄰的邊長度相等，對角之和是180°，就可以旋轉成等腰三角形。

四邊形對角線求三角形面積（求圓内接四邊形的對角線）3

老師的解答

現在留一個問題給大家思考：求出了對角線BD的長度，怎樣求另一條對角線AC的長度呢？

這裡是輕松簡單學數學，獨立解題，互相學習。

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