本文的這道例題，我們運用基本圖形分析法中軸對稱型全等三角形來分析和添加輔助線。

首先通過已知的條件，得到可行的全等和對應的條件，并以此通過結論來推證線段的垂直。從中對原有圖形進行添線，使全等的圖形變完整。

例25 如圖5-76，已知：O是△ABC的外心，AD是角平分線，E是AB上的一點，且AE=AC。求證：OA⊥DE。

圖5-76

分析：本題條件中出現了AE=AC、∠EAD=∠CAD和AD=AD，可得△ADE≌△ADC，是一對軸對稱型全等三角形（如圖5-77），于是∠ADE=∠ADC。

圖5-77

現在要證OA⊥DE，這是一個垂線的判定問題，所以根據垂線的定義，延長AO交DE于F後（如圖5-78），應證明∠AFD=90°，也就是要證明∠ADF ∠DAF=90°。但由∠ADE=∠ADC，可以發現這兩個相等的角是關于AD成軸對稱的，從而就可以再一次添加軸對稱型全等三角形進行證明。由于圖形中已經出現了對稱軸AD，所以添加的方法是将三角形沿對稱軸翻折過去。而當我們将△ADF沿對稱軸AD翻折後，DF就落在DC上，而AF就應落在DF的對應部分DC的垂線上。由于已知圖形中沒有這條垂線，所以應将這條垂線添上，即過A作AH⊥BC交BC于H，那就應證△ADF和△ADH全等（如圖5-78）。而在這兩個三角形中，已經有∠ADF=∠ADH和AD=AD，所以還要證一個條件。

圖5-78

由條件AD是△ABC的角平分線，即∠BAD=∠CAD，而這兩個角都是圓周角，所以可應用圓周角的基本圖形的性質進行證明，但現在這兩個圓周角都隻有一邊和圓相交，所以要将另一邊也延長到與圓相交，即延長AD交⊙O于G，即可得弧BG=弧CG，G是弧BC的中點。然後就可直接應用弧的中點的性質，或者也就是應用垂徑定理，可得聯結OG（如圖5-79）後，有OG⊥BC，所以OG∥AH。又因為OA、OG是⊙O的兩條半徑，它們可組成一個等腰三角形，應用等腰三角形的性質可得∠G=∠FAD，而由OG∥AH，又可得∠G=∠HAD，所以∠FAD=∠HAD，所以△ADF和△ADH全等就可以證明，分析也就可以完成。

圖5-79

本題要證明OA⊥DE，而OA是⊙O的半徑，這樣就出現了半徑的垂線，所以可添加過半徑的外端所作的半徑的垂線，也就是圓的切線進行證明，于是過A作OA的垂線MN（如圖5-80），即可得MN與⊙O相切于A，而AB是過切點的弦，所以∠MAB=∠C。而在作出了MN上OA後，由于要證OA⊥DE，也就是要證DE∥MN，所以問題又轉化為要證∠MAB=∠AED，∠AED=∠C。由條件可得△ADE和△ADC是一對軸對稱型全等三角形，所以這個性質就可以證明。

圖5-80

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