斜面上的滑闆少年

斜面上的闆塊問題，在高考中也是常規常見題型，在實際中，如同小時候把一木闆放在滑滑梯上，然後再坐在木闆上滑下來，不知道大家有沒有發現，無論什麼情況下，總是隻有兩種情況出現，要不和木闆一起滑下來，要不人滑在前面，木闆在後面，人的加速度比木闆的加速度大，而不會出現木闆的加速度超過人的加速度。上面的情景轉化為模型圖如下圖所示。

【反證法】假設木闆B加速度大，則B運動速度大，木闆B受到木塊A的滑動摩擦力沿斜面向上，木塊A受到木闆B的摩擦力沿斜面向下，再加上沿斜面向下的重力分力，木塊A的加速度将大于gsinθ,而木闆B的加速度将小于gsinθ,這與假設相矛盾,所以木闆B的加速度不可能超過木塊A的加速度.對于斜面上的闆塊問題要如何解題呢? 分三步!

第一步:假設闆塊和滑塊在一起(相對靜止),并求出共同加速度a共=？

第二步：求出維持相對靜止所需的靜摩擦力為多大；f靜=？

第三步：所需的靜摩擦力和能提供的最大靜摩擦力進行比較。如供大于需，則能維持相對靜止；如果供小于需，則會相對滑動，變成滑動摩擦力。

例：如圖所示，

A、B兩個物體疊放在傾角為α=37°的固定斜面上，已知A的質量為mᴀ=1kg，B的質量為mʙ=2kg；A、B之間的動摩擦因數為μ₁=0.1，B與斜面的動摩擦因數為μ₂=0.2；取最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，現把A、B兩滑塊同時從靜止釋放，釋放後，A、B兩物體的加速度各為多少？（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）

【解析】假設A、B以共同加速a保持相對靜止一起沿斜面下滑，則a=gsinα-μ₂gsosα

a=10·0.6m/s²-0.2·10·0.8m/s²

= 4.4m/s²（方向沿斜面向下）

對A：

所受的合力為Fᴀ=mᴀ·a=1kg·4.4m/s²=4.4N.（方向沿斜面向下）

而A已經有了沿斜面向下的重力分力mᴀgsinα=1·10·0.6N=6N.

則所需要的靜摩擦力為

fᴀ=6N-4.4N=1.6N.（方向沿斜面向上）

B對A能提供最大靜摩擦力為fₘₐₓ=μ₁mᴀgcosα

=0.1·1·10·0.8N=0.8N.

（最大靜摩擦力小于所需要的靜摩擦力，供小于需）

故靜摩擦力無法維持A、B相對靜止，A、B之間為滑動摩擦力。A、B所受滑動摩擦力如圖所示，

對A：

aᴀ=（mᴀgsinα-f₁）/mᴀ

=（mᴀgsinα-μ₁mᴀgcosa）/mᴀ

=5.2m/s².

對B：

aʙ=（mʙgsinα f₁-f₂）/mʙ

=［mʙgsinα μ₁mᴀgcosa-μ₂（mᴀ mʙ）gcosα］/mʙ=4m/s².

【變式拓展】

若μ₁=0.8，μ₂=0.1；A、B又是怎麼運動呢？

【高考題】下暴雨時，有時會發生山體滑坡或泥石流等地質災害.某地有一傾角為θ＝37°（sin37°＝0.6）的山坡C，上面有一質量為m的石闆B，其上、下表面與斜坡平行；B上有一碎石堆A（含有大量泥土），A和B均處于靜止狀态，如圖所示.假設某次暴雨中，A浸透雨水後總質量也為m（可視為質量不變的滑塊），在極短時間内，A、B間的動摩擦因數μ₁減小為3/8，B、C間的動摩擦因數μ₂減小為0.5，A、B開始運動，此時刻為計時起點；在第2s末，B的上表面突然變為光滑，μ₂保持不變.已知A開始運動時，A離B下邊緣的距離l＝27m，C足夠長.設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.取重力加速度大小g＝10m/s².求:

（1）在0～2s時間内A和B加速度的大小；

（2）A在B上總的運動時間.

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