雖然是暴力破解，但偏偏有美感，挖空心思想到的技巧，感覺都不如暴力方法好用。

感覺上, 雖然很多人的回答涉及的無一例外都是很有趣的數學問題, 但是距離真正的"暴力破解"還是有那麼一丁點遠......我理解的暴力應該是,雖然結論看上去很簡潔, 但是證明的過程卻充滿了非常複雜的技巧和非常獨到的思想. 如果還要求優美, 則就遠遠不能單純是技巧的堆砌.

我來寫一個我認為真正算得上"暴力破解"的.

1954年阿姆斯特丹的國際數學家大會上,E. Calabi（卡拉比） 提出了一個命題:

對于任何一個容許Kahler度規的緊複流形, 給定了任意一個上同調于其第一陳類的閉微分形式, 一定存在唯一的一個Kahler度規, 使得的Ricci形式恰好等于.

這就是有名的Calabi 猜想. 為了照顧沒學過微分幾何的人, 稍微解釋一下: "容許Kahler度規的緊複流形"可以簡稱為緊Kahler流形. 緊Kahler流形本身是一類非常特殊的空間. 在這個空間上面可以定義各種各樣的"長度", 但是滿足Kahler條件的"長度"(Kahler度規)卻要受到很嚴格的限制; 比如說, Kahler度量的Ricci形式必須要代表流形本身的第一陳類(是一個僅和空間本身的拓撲有關的不變量). Calabi猜想以極其不平凡的方式反過來"放松"了對Kahler度規的限制, 即建立了第一陳類的上同調類和Kahler度規之間的一一對應. 它對于微分幾何和代數幾何有着極其深遠的影響.

這個猜想到底有多大的分量呢? 丘成桐發表于1978年的文章(給個鍊接:On the ricci curvature of a compact kähler manifold and thecomplex monge-ampére equation, I)證明了Calabi猜想, 這直接導緻他獲得了1982年的菲爾茲獎. 所以現在這個命題都叫做Calabi-Yau定理. 具體到這個猜想本身的分量, 隻需舉物理學中的一個例子即可. 從Calabi-Yau定理可以輕松地導出所謂Calabi-Yau流形的存在性, 而這種流形在弦論中扮演了極其重要的角色. 即便隻是讀過一點科普書, 也應該知道所謂"蜷縮得極小的額外維"; 這些"額外維"指的就是Calabi-Yau流形.

回到猜想本身. 看上去, 它是一個純幾何的猜想; 它所說的是在容許的範圍内對一個度規進行合理的形變, 使得它變成想要的樣子. 然而, 這類形變問題實際上都有着很深刻的分析學背景(最好的例子是Hodge理論, 相當于緊微分流形上的偏微分方程理論同其本身的幾何特性之間的聯系, 可惜這裡不能展開), 很難期望純"幾何"的解決方式. 所以, 要想解決Calabi猜想, 必須要借助非常非常"硬"的暴力手段. 打個比方, 如果這個數學問題是一個核桃, 那麼Atiyah等等數學家會選擇用合适的工具和精妙的技藝撬開核桃, 而丘成桐等等則選擇用堅硬的錘子直接砸開核桃. 這才是真正的暴力破解.

注: 所謂"純幾何"指的也不是初等幾何學那種添幾條輔助線倒一倒角玩玩相似三角形的"直觀"的幾何. 想要知道含義的, 可以看一看, 比如, 陳省身對Gauss-Bonnet定理的内蘊證明.

到底是怎麼暴力破解的呢?

借助一些非常幾何的簡單讨論, 可以把所要求解的形變問題完全轉化成下面的偏微分方程問題:

,其中是要求解的未知函數, 而其它的量統統代表已知的函數. 問題轉化為: 對于任何适合命題條件的已知函數組, 證明解的存在性和唯一性(可以差一個常數加項, 這從方程本身很容易看出來).

這個偏微分方程是極其複雜的, 因為它是完全非線性的方程. 要想體會其複雜程度, 不妨隻在流形的複維數為2的時候把左右兩邊的行列式展開, 就可以稍微體會到其艱深.

接下來就是顯示丘成桐的"暴力破解"功力的時候了. 在這之前, 幾何學家往往避免過多地觸及微分方程, 即使碰到了, 處理方式也往往帶有非常明顯的幾何學的考慮. 舉例來講, Frobenius定理就可改寫為關于一階偏微分方程組可積性的定理, 而它的證明是幾何的, 證明出來之後也是要用來處理諸如葉狀結構之類的幾何問題.

顯然, 這些"軟"手段在這裡都失效了. 如果不寫成微分方程的形式, 你該如何處理度規的存在性和唯一性問題? 對于Calabi猜想, 有一句話說"不變的記号都是騙人的", 指的就是必須要選定坐标域進行計算. 但是如果寫成了微分方程的形式, 你該怎麼證明解的存在性? 哪一條幾何學的定理能夠處理這樣級别的存在性問題?

注: 我們知道, 度規為平直的充要條件是相應的Riemann曲率張量等于零. 這等價于"好"坐标系的存在性, 也歸結為微分方程的可積性問題, 應用Frobenius定理即可證明. 然而這裡所涉及的是坐标這種"身外之物", 不是度規本身這種内在的結構.

丘成桐給出了極其硬碰硬的手段: 直接依靠偏微分方程的理論來證明解的存在性和唯一性. 為什麼說不全是技巧的堆砌? 因為一則證明中用到的方法其實追本溯源都源自很樸素的思想, 二則這證明本身為以後的幾何學指明了方向(幾何分析).

限于篇幅, 這裡不可能給出全部的細節, 隻能大緻地勾勒一下丘的證明思路.

注: 丘成桐在這之前就已經積累起來了一系列的關于流形上偏微分方程的技巧, 在這裡可說是集其大成.

其實, 仔細分析起來, 這個方程也并非是沒有突破點的. 根據條件, 應該是一個Kahler度規, 而形變的結果也是一個Kahler度規. 這表示: 為了讓這方程在幾何上有意義, 這方程就必須是強橢圓的. 而對于強橢圓的微分方程, 已經有一套比較完善的正則性理論(存在性, 唯一性和正則性). 這正是一個突破點; 如果強橢圓性和方程本身相容, 那麼至少解的唯一性就可以保證了(通過極值原理). 至于存在性, 線性偏微分方程的理論中已經有使用連續形變方法證明存在性的例子(例如Schauder理論裡面就有這樣一個小小的技巧), 即将一個"陌生"的算子, 通過不改變某些特殊性質的形變, 變成一個熟悉的簡單的算子, 然後就可以直接照搬簡單的算子的結論了. 這裡也采用了這種連續形變的方法. 具體說來, 考慮"形變"的方程

參數等于1的時候方程回歸原來的方程, 而等于零的時候則給出一個極其平凡的方程. 這方程當然存在解(常數), 精确到常數加項的唯一性也不難通過極大值原理證明. 如果設是區間内使得上面這個"形變"方程有解的那些參數的集合, 那麼隻要能證明又開又閉, 就可以由連通性得出; 從而對于(原來的方程), 解是存在的.

的開性的直觀含義是, 隻要對于某一個參數 t 這"形變"的方程存在解, 則對于這方程的右邊進行微小擾動之後,這樣的解依舊是存在的. 換句話說, 這些讨論對于微擾是足夠穩定的. 為此隻需要借助基本的Schauder理論和标準的隐函數定理即可證明這個穩定性. 這是Calabi在提出猜想後不久就解決了的部分.

而的閉性的直觀含義則是, 解的序列應該在某種意義下收斂到一個解.這是非常難以證明的; 實際上, 哪怕是對于線性的微分方程, 都很容易構造出來按任何意義都不收斂到解的解序列. 丘成桐的力量就體現在這裡: 他沒有進行任何的迂回, 而是直接借助複雜的偏微分方程理論給出了解的先驗估計(即假定解存在的情況下, 估計解的各種性質; 盡管聽上去很複雜, 但是這種例子在初等數學裡面都有的是,比如确定代數方程的解落在哪一個區間裡面就屬于先驗估計). 隻要有了先驗估計, 後面的收斂問題就可以做為并不複雜的推論而得到了.

為了進行估計, 要先想辦法把方程轉化成貼近線性問題的形式. 可以針對某一個自變量微分而得到:

其中表示形變得到的新度規, 上标表示取逆. 這下問題就清楚了: 為了應用标準的線性橢圓微分方程的理論, 就需要對于函數直到第三階的導數進行估計(實際上對于二階導數, 隻須估計的特征值即可, 因為控制方程橢圓性的其實就是它的特征值). 換句話說, 隻要我們能夠得到下面的四個不等式:

,

,

(作為二次型),

,

就可以通過反複地應用Schauder理論來證明: 任何解序列一定存在收斂到解的子序列. 這下就需要面對一個純粹的分析學問題了.

為了估計第零到第二階的導數, 需要一個非常關鍵的式子:

其中的常數隻依賴于所有的已知量. 假若能夠得到一個對的先驗估計, 那麼這個關鍵的不等式便通過本身(零階導數)限制了. 據此, Schauder理論(不是傳統的Schauder内估計, 而是更廣泛意義下的; 不用Schauder理論, 轉而考慮上的Green函數和Poisson方程似乎也能達到同樣的目的)便能夠給出一階導數的估計, 而方程本身外加此不等式立刻給出了對的特征值的估計. 換句話說, 丘把高階導數的估計轉化成了對函數本身的估計. 這是很了不起的.

這個式子可以通過選取合适的輔助函數, 并反複應用極大值原理而得到. 具體說來, 丘成桐考慮了這樣一個輔助函數:

其中是某個适當大的常數, 不過雖然可以很大但是隻依賴于原來的度規. 這個函數的選取是大有講究的(據說丘為了選這個輔助函數費了不少的力氣), 因為它是非負的而又能夠在上的某一點達到它的最大值(它是連續函數, 而是緊集). 從而若令, 即有.于是如果能夠得到的隻依賴于的先驗估計, 這個輔助不等式就可以得到證明了.

為此, 計算:

這裡出現了直到四階的導數, 要想辦法消去. 丘成桐應用一系列的不等式将其中高于二階的導數全都消去了.

首先對前三項利用Cauchy-Schwarz-Young不等式可以得到

為了方便計算, 可以取定一個特殊的坐标系而讓右邊的表達式得到适當的簡化, 最後還是可以得到不依賴坐标(coordinate free, or covariant)的表達式的. 選好此坐标系的同時, 還可以對方程本身再微分兩次, 得到二至四階導數之間的聯系. 應用此方法經過一些細緻的計算即可消去四階導數, 從而得到這樣一個不等式:

其中是隻與原來的度規的Riemann曲率有關的一個常數, 而被取得适當大使得.

現在, 考慮使得取最大值的點. 由初等微積分立刻知道在這一點處, ,從而立刻就可以由初等的不等式知道是被一個隻于背景常數有關的常量控制的; 又可立刻算出對流形上的任何點,

由此即證得重要的輔助不等式.

由Green函數方法可以得出和的估計. 又, 通過同一個輔助函數(是一個遠遠比前面的大的常數, 但是依舊無關于要求解的函數), 計算之後, 按照同之前相仿的步驟, 可以導出一個限制了的Sobolev模的不等式

根據Sobolev空間的嵌入定理, 可以得到的積分的估計(隻依賴).

接下來, 根據對一階導數的Schauder估計, 容易通過中值定理知道, 可以适當選取隻依賴流形本身的常數,使得在半徑的測地球中取值的上界不超過其最小值的一半. 這樣就可以估計出在這測地球上的積分的一個下界(決定于). 但的積分估計是已知的, 所以可以解出: 事實上也可以被估計出來.

至此, 丘成桐完成了對不高于二階的導數的先驗估計.

對于第三階的導數, 丘成桐考慮的是的估計. 對這一項求Laplacian,借助極值原理即可得到對三階導數的估計了. 其實這一部分單獨拿出來看也相當地暴力. 截圖為證(論文原圖):

這隻是計算中的一小部分.

上面的這些概括是很簡略的. 實際上具體做起來, 這些内容全都是非常非常複雜的計算, 盡管背後的想法是樸素的. 這确實是當得起"砸核桃"的說法: 為了達到目的, 不進行迂回, 隻是将問題一步步地納入到熟悉的框架之下, 然後進行直接的計算來表明可以在多大程度上應用已知的結果.

然而, 總體來講, 這個證明卻也是很美的. 抛開它對于幾何和分析的巨大意義, 它也可說是在幾條簡單的結論之下蘊含了豐富的信息, 并且體現了一種用蠻力對抗複雜的氣勢.這在數學中實在是非常少見.

via：DTSIo Shao（知乎）

編輯：vingce

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