答案是不可能,三根針永遠不會互成120°。
當然了,前提是這個鐘必須三根針每時每刻都在動,因為有些鐘表是秒針繞一圈結束,分針才會動一格。
下面列出具體的數學證明:
我們以鐘表盤面建立極坐标,12點方向為正,順時針角度為正。
(上圖)為了方便,我們設三根指針長度都為1
秒針為OA,坐标為(1,α)
分鐘為OB,坐标為(1,β)
時針為OC,坐标為(1,γ)
每個指針的角速度我們容易知道,因此每時每刻動了多少角度,我們就可以列出式子(下圖)★而我們知道,當長度為1的三根指針互成120°時,等同于三個針尖的互相距離為根号3(下圖)
為了證明結論是不可能。因此我們需要證明存在一種情況:
即當某兩根針尖相距根号3的所有可能條件下,其中一根針尖不能和剩下的一根距離等于根号3(見下圖)
計算發現:
即當分鐘和時針成120°時,秒針永遠不可能和分鐘也成120°
所以不存在三針互成120°的情況。ps:除了證明不能成120°外,有了這些等式,我們還可以求任意情況下指針的關聯位置,或者一些其他情況。
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