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在一個圓中找最大的兩個直角

圖文更新时间:2024-07-22 00:08:18

高二的小夥伴應該學到《圓錐曲線》了，相信一大波吐槽在路上。

關于圓錐曲線的吐槽從來就沒有消停過，還真不全是矯揉造作，無病呻吟，我能理解。圓錐曲線有難度，這個應該承認。

難也得學，分數不是大風刮來的，所以沒有選擇。可話又說回來，誰還不是一樣，前仆後繼，向死而生。

下面給出一道南開中學的月考題，仔細思量，也許可以窺見端倪。

1 圍觀：一葉障目，抑或胸有成竹

在一個圓中找最大的兩個直角（第二百一十六夜）1

圓錐曲線的題目可易可難，縱觀近幾年高考，無一不是。

本題并不新奇，但卻非常典型。第一問求方程，第二問求面積的最值，尤其适合成績中檔的學生，是深刻領悟解題精髓的模闆。

2 套路：手足無措，抑或從容不迫

在一個圓中找最大的兩個直角（第二百一十六夜）2

在一個圓中找最大的兩個直角（第二百一十六夜）3

3 腦洞：浮光掠影，抑或醍醐灌頂

第一問，直線bx ay-ab=0恰好過橢圓的右頂點與上頂點，等面積法與點到直線的距離效果一緻。

第二問，實質上是直線過定點問題。這裡的定點D，可先由對稱性判斷在x軸上（如下圖所示）。一旦定點的坐标确定，面積便易如反掌。

在一個圓中找最大的兩個直角（第二百一十六夜）4

【法1】，韋達定理。反設直線方程并聯立橢圓方程，化簡得到韋達定理；以BC為直徑的圓過點A，則AB⊥AC，于是向量（或斜率）派上用場；代入韋達定理，求得定點坐标，進而求得三角形面積的最值。

法1思路清晰，步驟嚴謹，單刀直入，一氣呵成，是叨叨所提倡的方法。

【法2】，直徑式圓。将直線代入橢圓，分别消去變量y與x得到兩個一元二次方程，然後将兩個方程相加得到以BC為直徑的圓的方程；代入點A的坐标即可求得定點坐标，剩下的與法1一緻。

直徑式圓的方程在教材的習題中有，是解題的神器，往往不經意間解題于無形。

【法3】，齊次化。以A點為坐标原點，建立新的直角坐标系，并由此确定橢圓方程；在新坐标系下設直線的方程，聯立橢圓得到齊次方程，則直線AB與AC的斜率即為方程的兩根，由韋達定理求得定點坐标；接下來與法1一緻。

另外，本題亦可采用“點乘雙根法”，限于篇幅，不作贅述，感興趣的可自行嘗試。

在一個圓中找最大的兩個直角（第二百一十六夜）5

4 操作：行同陌路，抑或一見如故

在一個圓中找最大的兩個直角（第二百一十六夜）6

在一個圓中找最大的兩個直角（第二百一十六夜）7

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