1. 階次的物理意義

按照振動理論來分，可以把振動分成線振動和角振動。線振動是我們通常所說的常規的振動，用位移、速度和加速度來描述，對應的載荷是力；角振動是旋轉振動或扭轉振動，用角位移、角速度和角加速度來描述，對應的載荷是力矩或扭矩。一個剛體有6個自由度，分别為3個平動自由度和3個轉動自由度，那麼平動對應的是線振動，轉動對應的是角振動。

對于常規的振動（線振動）而言，通常用頻率來描述一秒鐘内振動往複的次數，這就是所謂的振動頻率。如圖1所示，在一秒鐘内有兩個周期，因此，振動頻率是2Hz，或者說一秒鐘内振動這個事件發生的次數是2次。用時間和頻率來描述常規的線振動。

圖1 振動頻率

對于扭轉振動而言，通常用階次這個名詞來描述，階次表示的是旋轉部件每旋轉一圈（360度）事件發生的次數。與階次相對應的是角度或者旋轉的圈數，而每旋轉一圈對應360度，因此，圈數與角度是等價的。扭轉振動中的階次與圈數（或角度）對應于常規振動中的頻率與時間。如圖2所示，橫縱表示圈數或角度，那麼在一圈内振動的周期是2個，那麼振動這個事件發生2次，我們可以說階次是2階次。因此，階次的物理意義是表示每圈事件發生的次數。

圖2 階次

對于有質量偏心的旋轉部件而言，它的階次是1階次，這是因為每旋轉一圈，這個質量偏心的事件隻發生一次。如果旋轉部件的圓形截面變成了橢圓，那麼，它的階次将是2階次，這是因為橢圓有一個長軸，但長軸有兩端，每旋轉一圈長軸的兩端導緻質量偏心出現兩次，因此，是2階次。倘若在旋轉軸上有齒輪盤，齒數是29個，那麼，齒輪齧合時，每旋轉一圈，齒輪碰撞将發生29次，因此，齒輪的階次是29階次。對于4缸4沖程發動機來說，首先考慮一個缸，完成一個工作循環需要旋轉2圈，才點火一次，因此，單缸每旋轉一圈點火0.5次，對應0.5階次，由于有4個缸，因此，曲軸每旋轉一圈點火2次，因而，我們講發動機的點火階次是2階次。所以，階次是每圈（或360度）事件發生的次數。明白這個物理意義，可以幫助我們深入理解階次這個概念。

2. 階次與頻率的關系

旋轉振動用角度和階次來描述，除此之外，還有一個關鍵的參數，即轉速（是角速度）。轉速表示每分鐘旋轉的圈數，單位為rpm（Revolution Per Minute），如果用每秒鐘旋轉的圈數來表示，則稱為轉動頻率，簡稱為轉頻，是頻率的一種表現形式。也就是說轉頻與轉速的關系如下

轉頻=轉速/60

階次是表示每圈事件發生的次數，而轉頻是表示每秒鐘旋轉的圈數，那麼，階次對應的事件的頻率則是階次乘以轉頻。因此，1階次對應的事件的頻率是1倍的轉頻，K階次對應的事件的頻率是K倍的轉頻，或者說1階次對應的頻率是1倍轉頻，K階次對應的頻率是K倍轉頻。不管轉速如何變化，這種關系都是固定不變的，因此，我們說階次獨立于轉速。

階次對應的事件的頻率等于階次乘以轉頻，事件的頻率不随參考軸的變化而變化的。但是當考慮用不同的旋轉軸來表示時，對應的階次數與軸的轉速（或轉頻）是變化的，但二者的乘積是保持不變的，即事件的頻率是不随參考軸變化的。

還是使用之前的例子，A軸的直徑是B軸的3倍。A軸轉速從600rpm增加到6000rpm，同時通過皮帶帶動B軸旋轉。因此，B軸的轉速是1800rpm到18000rpm。也就是說B軸的轉速是A軸的3倍，B軸的階次是A軸的3倍，或者A軸的階次是B軸的1/3。

圖3 兩軸的傳遞關系

如果考慮A軸的事件的頻率等于A軸的階次乘以它的轉頻，如果以A軸的轉速作為參考，那麼A軸對應的事件的頻率等于A軸的階次乘以A軸的轉頻（1*rpmA/60）。如果以B軸的轉速作為參考，此時，A軸的階次是B軸的1/3，此時A軸對應的事件的頻率等于A軸的階次乘以B軸的轉頻（1/3*rpmB/60）。因為B軸的轉頻是A軸的3倍，所以A軸的階次對應的事件的頻率是不變，不管以哪個軸的轉速作為參考。同理，B軸的階次對應的事件的頻率也是相同的道理，不以轉速參考軸的變化而變化，都是固定不變的。

這個例子也說明，同一根軸，當以不同的旋轉軸作為參考軸時，其對應的階次數是不同的，但彼此之間的階次關系是确定的，由兩軸之間的轉速轉遞關系決定。如果當以A軸的轉速作為參考時，A軸的階次是1階次，B軸的階次是3階次。但如果以B軸作為轉速參考，那麼，B軸的階次是1階次，A軸的階次是1/3階次。但是A軸與B軸的階次關系為1：3是不随轉速參考軸的變化而變化的。因此，在計算階次時，将實際測量的轉速設置成第1階次，其他旋轉部件的階次通過結構之間的轉速傳遞關系（傳動比）确定其階次數。

（a）以軸A為參考

（b）以軸B為參考

圖4 兩軸的階次因轉速參考不同而不同

3. 為什麼高階次不清晰

在做階次分析時，經常發現colormap圖中的高階次成分模糊不清，不利于從這些高階次中提取有用的信息。如圖5所示，低階次非常清楚，但是高階次卻模糊不清，這是在做階次分析時經常會遭遇到的現象。

圖5 高階次成分模糊不清

假設某旋轉機械的轉速（假設轉速變化率固定）以固定速率發生變化，在50s的時間間隔内轉速從600rpm上升到6600rpm，那麼，轉速的變化率是120rpm/s，轉頻的變化率是2Hz/s。1階次将以2Hz/s的速率發生變化，第3階次将以6Hz/s的速率變化，第30階次将以60Hz/s的速率變化，也就是說階次越高，頻率變化速度越快，正比例于階次成分。對于旋轉軸帶有30個齒的齒輪盤而言，就屬于這種情況，旋轉軸1秒變化2Hz，而齒輪1秒變化60Hz。

對于高階次而言，頻率成分是很高的，在同樣一個時間長度之内，如果是一個低頻信号，可以認為幅值變化不大，但對于一個高頻信号，幅值變化是很明顯的。除了幅值變化之外，還有頻率變化，假設一秒鐘之内，低頻1階100Hz變化到102Hz，隻有2Hz的差别。但是30階次，高頻3000Hz已變化到3060Hz，這個時候變化的頻率有60Hz。在這個時間之内，除了這兩個信号之外，還有3000~3060之間的頻率成分，因為信号一直在變化，是從3000Hz連續變化到3060Hz，也就是說一秒鐘的時域信号裡面包含了3000-3060Hz的頻率成分，實際上這個信号變化過程中永遠隻有一個頻率，這個頻率對應旋轉軸轉速頻率的30倍頻。在這個過程中，永遠是它的30倍頻，隻不過從Hz上看是連續變化的，但實際上在任何時候隻有一個頻率，就是旋轉軸轉速的30倍頻。

由于轉速連續變化，30階次這一秒鐘内的頻譜從3000Hz連續變化到3060Hz，頻譜變成了連續譜，離散的譜線變成了譜帶或者說譜線變胖，從而導緻高階次在頻域的階次線變得模糊。這種模糊的階次尤其針對高階諧波，帶寬按階次比例改變，譜帶更寬，譜圖變得模糊不好分辨。這就是為什麼階次分析時，高階次成分模糊不清的根本原因。特别是轉速變化速率越快的情況，這個現象更明顯。

4. 階次實例：扇葉的通過階次

這個例子，我們之前介紹過，但介紹的是最基本的情況，在這，我再擴展一下，講解一些特殊的情況下的階次成分。

帶有6塊葉片的風扇的主軸階次是1階次，葉片的通過階次6階次。簡單地說，主軸每轉一圈，将有6個葉片通過，使得我們可以明白葉片的通過階次是6階次。或者說主軸每旋轉一圈，在任一角度都可以看到6個葉片通過該位置，因此，葉片通過這個位置每旋轉一圈發生6次，對應6階次。也可以理解成，旋轉時，各個葉片的角度差始終是60度的倍數，因此對應6階次。除了6階次之外，還會産生諧階次，即6階次的倍頻，如12，18階次等。出現6階次的諧階次的可能原因是旋轉軸不對中，如旋轉軸的軌迹是橢圓，這時就容易産生2倍的諧階次。

圖6 帶6個均勻分布葉片的風扇

更進一步，假設這個風扇還是6個扇葉，每個扇葉形狀都相同，但每兩個扇葉之間的角度都不相同，這時候産生的階次噪聲1-12階（連續的整數階）都有，這怎麼理解呢？由于每兩個扇葉角度不一樣，那麼每旋轉一圈可能在多個角度位置出現，并且這些角度差都不相同，不是某個角度的倍數，所以确切地說1-6階次都有。而7-12階次是它們的諧階次。如果角度相同，那麼旋轉一圈，隻在6個角度處出現，所以隻有6階次及其諧階次。

假設風扇還是6個扇葉，每個扇葉形狀都相同，而且前三個扇葉為第1組，組内每兩個葉片之間的角度都不相同；後三個扇葉為第2組，組内每兩個葉片之間的角度也不相同，但是第1組和第2組呈中心對稱，那麼其産生的階次噪聲為2 、4、6、8等連續的偶數階次。如果扇葉不對稱分布，如上面那個情況，則産生連續的整數階次成分。因此，如果隻考慮其中任一組扇葉，将産生連續的整數階次，但是由于兩組成對稱分布，所以連續的整數階次都要乘以2，也就是說1，2，3階次變成了 2，4，6階次。故，這種情況下産生的階次為連續的偶數階次。

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