數字 6 很有意思，有很多簡潔、優美的性質。比方很多人都知道，6 是最小的完全數，也就是說，他的全部“真約數（小于它本身的約數）”的和與積是相等的。而且它的真約數之和、之積恰等于它本身。有人說這是因為上帝在 6 天之内造出了整個世界，而也有說，正是因為 6 是完全數，所以上帝創造世界需要六天。但是６的有意思的性質遠不止這些。

比如說，對于所謂“費馬猜想（現在是費馬定理了）”來說，n=6是第一個無需專門證明即可知x^n y^n=z^n沒有正整數解的情況。這是因為隻要我們證明了n=3沒有正整數解，那麼n=6沒有正整數解乃是順理成章的事情。

既然提到費馬猜想，我們不妨把眼光轉向幾何：圓内接正六邊形是最容易作的多邊形，即使隻用圓規，六等分一個圓也不會增加難度。這當然是因為圓内接正六邊形的邊長等于圓半徑。而正是因為這一點，我們可以從正六邊形開始逐漸逼近圓，以此來計算圓周率。這就是劉徽《九章算術注》中的做法。而我們知道，在立體幾何裡，正六邊形還和正方體有着密切的聯系，比如可以從正方體裡作一個正六邊形的截面。另外，最簡單的多面體——正四面體——具有 6 條棱，最普通的幾何體——長方體——具有 6 個面等等，都說明 6 這個數字的确很有意思。

相比之下，7 就麻煩多了。雖然曆史上很多人對 7 情有獨鐘，比如音階、星期乃至竹林七賢、過去七佛、七大奇迹、北鬥七星、七巧闆、哥尼斯堡七橋問題等等地方都會遇到 7，但除了後兩者都和數學關系不大。在數學上，7 可以算是最小的麻煩數。

比如，一個數除以 7，如果除不盡，那麼它循環節居然達到了“驚人”的 6 位。我現在還記得當年剛學循環小數時計算 1÷7 的恐怖經曆。這在除數小于 13 的數字裡是最長的。根據抽屜原則我們知道，如果兩個整數無法整除，那麼分母為 n 時，循環節最多為(n-1)位，數字 7 完美地诠釋了這一點。不過後來我從一本數學讀物上學了一招，可以方便地計算 1-6 除以 7 的循環節：

如圖，裡圈數字是被除數，外圈數字是按順時針排列的循環節，對照如下：

這些循環節有個共同的奇妙特性，那就是前三位和後三位加一起恰好是 999，類似的性質也可以在其它循環小數中遇到。這是初等數論中很有代表性的結論。可以說，因為我們有 7 這個最小的“麻煩數”，數論上一些不容易察覺到的性質就有了一個很好、随手可得的例證。這大概就是 7 給我們的正面意義吧。

我們再來看看幾何：正七邊形還是第一個不能用尺規做出的正多邊形。但是很多資料語焉不詳，比如我手頭一本書說的是“單用直尺和圓規幾乎不可能做出”，難道說尺規聯合使用就能做出了？也許那本書的作者确實是這麼認為的，因為那本書上就記載着這樣一個做法——取圓内接正三角形邊長的一半為該圓内接正七邊形的邊長（見下左圖）：

不過仔細算一下，或者在數學軟件裡度量一下就知道，這僅是近似做法。上右圖是資料 1 中列舉的另一種近似做法：可以記做“下七八，上四三，九七在中間；角下五，肩上九，一一點二左右手。”

為什麼不能用尺規畫出正七邊形？原因是這其中需要用到解三次方程。而折紙可以實現這一點，所以可以用折紙來制作真正的正七邊形，但是也很麻煩，大家可以閱讀資料 2。不但如此，正七邊形的“麻煩”還在于它的邊長需要動用複數工具，雖然最後的結果肯定會消去虛數單位i，但是表達式裡卻需要始終帶着這麼個東西。有興趣者可以查閱下面的資料 3。雖然我們不能用尺規做出正七邊形，但是如果已經給我們一個正七邊形，我們卻有把握用尺規作出一個與之面積相等的正方形。這是因為正七邊形可以分成十四個全等的直角三角形，從而拼成一個矩形，而做出與已知矩形面積相等的正方形，則是簡單的。

在立體幾何裡，可以證明，沒有任何幾何體恰好有七條棱。這個證明方法就留給讀者了。這是 7 這個數字“麻煩”的又一例。

歡迎大家提供更多的有關 6 和 7 的内容。

本文轉載自公衆号“遇見數學”

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