【幾何求值】

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求線段的數量關系與位置關系是初中階段常考的内容之一，那如何在紛繁複雜的題目中找到求線段長度的突破口呢。下面小編為大家整理了初中階段常用求線段長度的方法。前四種是純粹初中階段的知識，後兩種方法應用到高一的公式。由于中考中使用高中階段知識解題并不算錯誤（應用錯誤則肯定不得分），因此特别普及一下。

【典型例題】

如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，CD為斜邊AB上的高，求CD的長．

圖1

【解析】

【方法一】等面積法——用不同方式表示同一三角形的面積

解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．

又∵CD為斜邊AB上的高，∴S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，

∴4×3＝5CD，CD＝2.4．

【方法二】勾股定理——構造直角三角形，用勾股定理建立方程

解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．

設BD＝x，則AD＝5－x．

又∵CD為斜邊AB上的高，

∴在Rt△ADC與Rt△BDC中，

CD^2＝AC^2－AD^2＝BC^2－BD^2，

即4^2－（5－x）^2＝3^2－x^2，x＝2.4．∴CD＝2.4．

【方法三】相似——根據邊角關系發現相似三角形的模型

解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∠A＋∠B＝90°．

又∵CD為斜邊AB上的高，∴∠BDC＝∠ADC＝∠C＝90°．

∴∠A＋∠ACD＝90°．∴∠B＝∠ACD．

∴△ABC∽△ACD．∴AB：AC＝BC：CD，即5：4＝3：CD，∴CD＝2.4．

【方法四】銳角三角函數——遇直角，優先考慮三角函數與勾股

解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．

又∵CD為斜邊AB上的高，∴∠BDC＝∠C＝90°．

∴sin B＝CD：BC＝AC：AB，即CD：3＝4：5．∴CD＝2.4．

【方法五】兩點之間的距離公式——勾股定理的推廣，不超綱，選填直接用

如圖2，以點C為坐标原點，CA，CB所在直線分别為x軸，y軸，建立平面直角坐标系．

則C（0，0），A（0，4），B（3，0）．

【備注】兩點間的距離公式：

A（x1，y1），B（x2，y2）

AB=√(x1-x2)² (y1-y2)²

【方法六】點到直線的距離公式——結合垂直的斜率關系

如圖2，以點C為坐标原點，CA，CB所在直線分别為x軸，y軸，建立平面直角坐标系．

則C（0，0），A（0，4），B（3，0）．

設直線AB的解析式為y＝kx＋4，代入B（3，0），得0＝3k＋4，k＝－．

圖2

【備注】兩直線平行：k1=k2；兩直線垂直：k1·k2=-1．

點到直線的距離公式：

點A（x′，y′），直線l：y=kx b，則

點A到直線l的距離為：d=|kx′-y′ b|/√(1 k²)

即：把y=kx b移項變成kx-y b=0，把點A的橫縱坐标代入左邊，得kx′-y′ b并取絕對值，再除以(1 k²)的算術平方根

怎麼樣？有收獲嗎？希望這些方法可以幫你找到解題的突破口，快速解決難題！

【舉一反三】

你會幾種解法呢？

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