□ 盧 源

《渴望不可能——數學的驚人真相》，［美］約翰·史迪威著，塗泓 馮承天譯，上海科技教育出版社2020年3月第1版。

鋼琴的琴鍵設計，每一組都由7個白鍵和5個黑鍵組成。白鍵對應的就是哆來咪發唆拉西，那為什麼還要有黑鍵呢？

話說在古希臘，畢達哥拉斯學派發現，當琴弦的長度成較小的整數之比時，彈撥琴弦會出現和聲。弦的長度比為2:1時，是最和諧的八度音程；長度比為3:2時，是第二和諧的五度音程；長度比為4:3時，是四度音程。八度音程如此和諧，以至于我們對相差八度的高音音符與低音音符的感覺是“相同”的。

畢達哥拉斯學派還發現，音調相加對應的是比例相乘。例如，他們知道一個五度加上一個四度就等于一個八度，這是因為3/2×4/3=2。

那麼，能不能通過将八度分成相等的音級來将五度、四度都包括在内呢？畢達哥拉斯學派的信徒們不斷嘗試，但一直沒有成功。看來，這個問題的答案是——

不可能

我們現在知道，他們的嘗試注定會失敗。因為3/2的整數次方不可能等于2的整數次方，所以無論将多少個五度相加，永遠不可能得到八度。将四度相加也一樣。

傳統的中國音樂将八度音程分為宮商角徵羽5個音級，相當于哆來咪唆拉，而中國音樂人也曾經嘗試用純五度的循環來構建音階，結果陷入了同樣的困境。可以說，這個問題同時困擾了中外音樂界。

令人驚奇的是，16世紀末，中國的朱載堉和荷蘭的西蒙·斯蒂文幾乎同時提出了相同的折衷解決方案，就是用一個八度的12等分（半音）來構建音階。其中的五度是2的7/12次方，約等于1.498，與純五度的3:2（就是1.5）非常接近。12個這樣的五度，恰好能構成7個八度，這個由相等半音構成的體系，就是十二平均律。

回過頭再看看鋼琴琴鍵，每一組的7白5黑12個鍵就是12個音級。從哆往後7個鍵是唆，它就是剛才說的2的7/12 次方，對應一個五度；從哆往後12個鍵就是下一個哆，對應一個八度。

如今，在吉他等樂器的琴格布局中，也可以看到十二平均律的應用。将手指從一個琴格滑到下一個琴格，就會将振動琴弦的長度改變一個八度的12等分。

從數學的角度來看，十二平均律的基本比例2的1/12次方是一個無理數。但是，畢達哥拉斯學派不承認無理數，他們認為這樣的數是“無理的”“荒謬的”。難怪他們搞不出十二平均律。

畢達哥拉斯學派認為不可能的無理數，解決了困擾人們多年的一個音樂問題。

努力把不可能變成可能

這是許多重大數學發現的源頭。在《渴望不可能》中，你能發現更多這樣的例子。數學家渴望發現不可能，渴望從不可能中做出新的發現。在日常生活和工作中，不也是這樣嗎？

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